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6ème — Nombres et Calculs -- Chapitre 13

Fractions

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Déterminer une fraction d'aire d'unité	☆☆☆☆☆☆
Déterminer une fraction de segment	☆☆☆☆☆☆
Repérer des fractions sur une demi-droite graduée	☆☆☆☆☆☆
Additionner et soustraire des fractions	☆☆☆☆☆☆
Ecrire une fraction comme somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1	☆☆☆☆☆☆

I. Fraction partage

1. Partage de l'unité

Définition :

Lorsqu'on partage une unité en parts égales, chaque part est une fraction de l'unité.

Exemple :

La bande ci-dessous représente l'unité. Elle est partagée en cinq parts de mêmes dimensions.

Chaque part représente un cinquième de la bande. On le note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$ .

Définition :

Lorsqu'on partage une unité en :

· 2 parts égales, on obtient des demis. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ .

· 3 parts égales, on obtient des tiers. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$ .

· 4 parts égales, on obtient des quarts. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$ .

· 5 parts égales, on obtient des cinquièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$ .

· 6 parts égales, on obtient des sixièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$ .

· 7 parts égales, on obtient des septièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{7}}$ .

· 8 parts égales, on obtient des huitièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}$ .

· 9 parts égales, on obtient des neuvièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{9}}$ .

· 10 parts égales, on obtient des dixièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}$ .

· 100 parts égales, on obtient des centièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{100}}$ .

· 1 000 parts égales, on obtient des millièmes. On les note $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{1000}}$ .

2. Ecrire une fraction

Règle :

Une fraction s'écrit sous la forme suivante :

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ désignent deux nombres entiers, $\mathbf{b}$ est non nul (on ne peut pas diviser par zéro).

Dans ce cas, on a partagé l'unité en $\mathbf{b}$ parts et on en a pris $\mathbf{a}$ parts.

Exemples :

$\dfrac{3}{5}$ se lit « trois cinquièmes » : on a partagé l'unité en 5 parts égales et on a pris 3 parts.

$\dfrac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ se lit « deux tiers » : on a partagé l'unité en 3 parts égales et on a pris 2 parts.

$\dfrac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}$ se lit « cinq demis » : on a partagé l'unité en 2 parts égales et on a pris 5 parts.

$\dfrac{\mathbf{9}}{\mathbf{4}}$ se lit « neuf quarts ». $\dfrac{\mathbf{9}}{\mathbf{20}}$ se lit « neuf vingtièmes ».

Remarque :

Dans la vie de tous les jours, tu utilises les fractions, sans même le savoir ! Par exemple :

· En cuisine (un demi-litre de lait)

· Pour indiquer l'heure (deux heures trois quarts)

· Pour mesurer le temps (8 secondes et 3 dixièmes)

3. Vocabulaire spécifique

Vocabulaire :

Dans la fraction $\dfrac{a}{b}$ :

· a est appelé le numérateur

· b est appelé le dénominateur

II. Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Méthode :

Pour placer la fraction $\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ sur une demi-droite graduée :

· On partage l'unité en $b$ (en plaçant $b - 1$ graduations dans l'unité)

· On place la fraction après $a$ graduation

Exercice :

Placer sur la demi-droite graduée ci-dessous les fractions $\dfrac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{,}\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{,}\dfrac{\mathbf{8}}{\mathbf{4}}$ et $\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}$ .

III. Égalité de fractions

Exercice :

1°) On a représenté ci-dessous trois fois le même rectangle avec la même surface coloriée. Chacun d'entre eux a été partagé en parts égales de différentes façons.

a) En utilisant les trois rectangles, trouve trois fractions égales.

b) En imaginant d'autres partages, trouve d'autres fractions égales aux précédentes.

2°) En utilisant les demi-droites graduées ci-dessous, établis des égalités de fractions.

Propriété :

On ne change pas la valeur d'une fraction quand on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

On obtient une écriture équivalente du même nombre.

IV. Comparer deux fractions

Méthode :

Pour comparer deux fractions, on peut utiliser une demi-droite graduée ou un schéma. On peut également écrire ses deux fractions sous une écriture équivalente ayant le même dénominateur.

Exemples :

Pour comparer les fractions $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{4}$ , on peut utiliser deux demi droites graduées (ou une seule) divisée en tiers et en quarts.

On remarque que $\dfrac{3}{4}$ est plus à droite que $\dfrac{2}{3}$ et donc on a $\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}$ .

Pour comparer les fractions $\dfrac{6}{5}$ et $\dfrac{11}{10}$ , on peut les écrire sous une écriture équivalente ayant le même dénominateur, ici 10.

On a $\dfrac{6}{5} = \dfrac{6 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{12}{10}$ , et $\dfrac{12}{10} > \dfrac{11}{10}$ donc $\dfrac{6}{5} > \dfrac{11}{10}$ .

V. Somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1

Propriété :

Une fraction peut s'écrire :

· Soit sous la forme d'un entier

· Soit comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1.

Exemples :

$\dfrac{\mathbf{12}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{3 + 3 + 3 + 3}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 4}$

On peut remarquer que 12 est un multiple de 3, en effet : 3 $\mathbf{\times}$ 4=12, ou encore 12 $\mathbf{\div}$ 3=4 donc $\dfrac{\mathbf{12}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{4 \times 3}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 4 \times}\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 4}$

$\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{2 + 2 + 2 + 1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 1 + 1 + 1 +}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 3 +}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

On peut remarquer, en posant la division euclidienne de 7 par 2 que 7=3 $\times$ 2+1 donc

$\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{3 \times 2 + 1}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 3 \times}\dfrac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 3 \times 1 +}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 3 +}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

Exercice :

Écrire les fractions suivantes sous la forme d'une somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à 1.

$\dfrac{10}{7};\dfrac{25}{4};\dfrac{12}{4};\dfrac{43}{10};\dfrac{72}{10};\dfrac{47}{5};\dfrac{35}{8};\dfrac{8}{5};\dfrac{20}{5};\dfrac{276}{10}$

Remarque :

Lorsqu'une fraction peut s'écrire comme la somme d'un entier et d'une fraction non nulle (différente de 0) et inférieure à 1, on peut encadrer cette fraction par deux entiers consécutifs (qui se suivent).

Exemple :

$\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 3 +}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ donc $\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{> 3}$ et $\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{< 4}$ soit $\mathbf{3 <}\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{< 4}$ .

VI. Opérations sur les fractions

1. Addition de fractions

Propriété :

$a,\ b$ et $c$ désignent trois nombres entiers, avec $c\ \neq 0$ .

On a :

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{c}}$

Exemples :

$\dfrac{4}{11} + \dfrac{3}{11} = \dfrac{4 + 3}{11} = \dfrac{7}{11}$

$\dfrac{15}{37} + \dfrac{13}{37} = \dfrac{15 + 13}{37} = \dfrac{28}{37}$

Méthode :

Pour additionner deux fractions ayant des dénominateurs différents, on modifie l'écriture des fractions pour qu'elles aient le même dénominateur.

2. Soustraction de fractions

Propriété :

a, b et c désignent trois nombres entier, avec c $\neq$ 0.

On a :

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}\mathbf{-}\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a - b}}{\mathbf{c}}$

Exemples :

$\dfrac{4}{11} - \dfrac{3}{11} = \dfrac{4 - 3}{11} = \dfrac{1}{11}$

$\dfrac{15}{37} - \dfrac{13}{37} = \dfrac{15 - 13}{37} = \dfrac{2}{37}$

Méthode :

Pour soustraire deux fractions ayant des dénominateurs différents, on modifie l'écriture des fractions pour qu'elles aient le même dénominateur.

VII. Multiplication d'une fraction par un entier

Propriété :

Déterminer une fraction d'une quantité revient à déterminer le produit de cette quantité par cette fraction.

Exemples :

· Prendre $\dfrac{1}{3}$ de 15 L, c'est prendre $\dfrac{1}{3} \times \ 15 = 1 \times 15 \div 3$ , c'est-à-dire 5L.

· Prendre $\dfrac{2}{3}$ de 15 L, c'est prendre $\dfrac{2}{3} \times \ 15 = 2 \times 15 \div 3$ , c'est-à-dire 10L.