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6ème — Grandeurs et Mesures -- Chapitre 8

Périmètre et aire d'une figure

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Comparer des périmètres et des aires avec ou sans recours à la mesure	☆☆☆☆☆☆
Calculer le périmètre d'un polygone	☆☆☆☆☆☆
Connaitre les formules des périmètres des figures usuelles	☆☆☆☆☆☆
Différencier aire et périmètre	☆☆☆☆☆☆
Déterminer une aire à partir d'un pavage ou grâce à une formule	☆☆☆☆☆☆
Unités usuelles et leurs relations	☆☆☆☆☆☆

Petit point d'Histoire :

En 1795, on trouve plus de 700 unités de mesures différentes qui varient d'une ville à l'autre. Source d'erreurs et de fraudes lors du commerce, cette situation porte préjudice au développement des sciences. On tente de changer cela : l'idée est d'assurer l'invariabilité des mesures en les rapportant à un étalon universel emprunté à un phénomène naturel.

En 1791 nait le mètre (du grec metron, mesure), dont la longueur est établie comme égale au dix-millionième du quart du méridien terrestre. L'unité de mesure de base étant déterminée, il suffit désormais d'établir toutes les autres unités de mesure qui en découlent : le mètre carré et le mètre cube, le litre, le gramme.

Le système international des unités (SI) est officiellement né en 1960, il permet de rapporter toutes les unités de mesure à un petit nombre d'étalons.

I. Longueurs et périmètres

1. Unités de longueur

Définition :

Pour désigner les multiples ou les subdivisions des mesures, on utilise les préfixes :

Préfixe	Kilo	Hecto	Déca		Déci	Centi	Milli
Signification	1000	100	10	1	$\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}$	$\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{100}}$	$\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 000}}$
Abréviation	k	h	da		d	c	m

Le tableau qu'on utilise pour les unités de mesure est le suivant :

km	hm	dam	m	dm	cm	mm

Pour convertir d'une unité à l'autre, on multiplie ou on divise par 10, 100, 1000, ...

Astuce :

La phrase « Killian et Hector décampent en métro et décident de s'enfuir chez Émilie » permet de retenir ce tableau.

Exemple :

973,21 m=9 7 32,1 dm = 9 7 32,1 hm = 9 7 32,1 mm

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
	9	7	3	2	1

2. Périmètre d'un polygone

Propriété :

Pour calculer le périmètre d'un polygone, on additionne la mesure de chacun des segments qui le composent.

Exemples :

On choisit comme unité de longueur le côté d'un carreau :

· le périmètre de la figure A vaut 12 ;

· le périmètre de la figure B vaut 10

· le périmètre de la figure C vaut 12.

Remarque :

Le cercle n'est pas un polygone, on ne peut donc pas aussi facilement calculer son périmètre.

3. Périmètres usuels

Figure	Formules de périmètre	Exemple	Calculs
Carré :	$\mathcal{P}\mathcal{=c+c+c+c}$ $\mathcal{P}\mathbf{=4×}\mathcal{c}$ $\mathcal{P}\mathbf{=4}\mathcal{c}$		$\mathcal{P}\mathbf{=2+2+2+2}$ $\mathcal{P}\mathbf{=4×2}$ $\mathcal{P}\mathbf{=8 }\mathbf{cm}$
Rectangle :	$\mathcal{P}\mathbf{=}\mathbf{L}\mathcal{+l+}\mathbf{L}\mathcal{+l}$ $\mathcal{P}\mathbf{=2×}\mathbf{L}\mathcal{+l}$ $\mathcal{P}\mathbf{=2(}\mathbf{L}\mathcal{+l)}$		$\mathcal{P}\mathbf{=2}\mathbf{0,2+0,3}$ $\mathcal{P}\mathbf{=2×0,5}$ $\mathcal{P}\mathbf{=1 }\mathbf{dm}$
Triangle :	$\mathcal{P}\mathbf{=}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}$		$\mathcal{P}\mathbf{=3,9+2,7+2,8}$ $\mathcal{P}\mathbf{=9,4 }\mathbf{m}$
Disque :	$\mathcal{P}\mathbf{=2×}\mathbf{π}\mathbf{×}\mathbf{r}$ $\mathcal{P}\mathbf{=2}\mathbf{πr}$ ou $\mathcal{P}=d×π×$ $\mathcal{P}=dπ$		$\mathcal{P}\mathbf{=2×}\mathbf{π}\mathbf{×1,2}$ $\mathcal{P}\mathbf{≈2×3,14×1,2}$ $\mathcal{P}\mathbf{≈7,54}\mathbf{cm}$

II. Surfaces et aires

1. Aire d'un polygone

Définition :

La surface d'une figure est la partie située à l'intérieur de son contour.

Sa mesure s'appelle l'aire, qui est le nombre d'unités d'aire que la figure contient.

Astuce :

Lorsque l'on n'a pas une unité d'aire entière :

On prend une partie de l'unité d'aire : la moitié= $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ =0,5 ; le quart= $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$ =0,25

On « découpe » une partie de la figure afin de la déplacer ailleurs pour former une unité d'aire.

Exercice :

Déterminer l'aide des figures ci-contre, en fonction des différentes unités d'aire choisies.

Unité	Figure A	Figure B	Figure C
u1
u2
u3

Définition :

Pour désigner une aire, on utilise le mètre carré (m²) et ses multiples et sous-multiples.

Pour les mesures agraires, on utilise l'are (a) qui équivaut à 100 m² et l'hectare (ha) qui vaut 1 00 ares, c'est-à-dire 10 000 m²:

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

Pour convertir d'une unité à l'autre, on multiplie ou on divise par 100, 10 000, 1 000 000, ...

2. Aires usuelles {#aires-usuelles-1}

Figure

Aires

Exemple

Calculs

Rectangle :

$\mathcal{A=}\mathbf{l×L}$

$\mathcal{A}\mathbf{=}\mathbf{l}\mathbf{×}\mathbf{L}$
$\mathbf{=0,3×0,2}$
$\mathbf{=0,06 }\mathbf{dm}\mathbf{²}$

Carré :

$\mathcal{A=}\mathbf{c×c}$
$\mathbf{=c²}$

$\mathcal{A}\mathbf{=}\mathbf{c}^{\mathbf{2}}$
$\mathbf{=}\mathbf{2}^{\mathbf{2}}$
$\mathbf{=4 }\mathbf{cm}\mathbf{²}$