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5ème — Chapitre 10

Proportionnalité

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Reconnaître une situation de proportionnalité	☆☆☆☆☆☆
Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité	☆☆☆☆☆☆
Partager une quantité en deux ou trois parts selon un ratio donné	☆☆☆☆☆☆

Définition :

Deux grandeurs sont dites proportionnelles si en multipliant par un même nombre les valeurs prises par l'une des grandeurs, on obtient les valeurs prises par l'autre grandeur.

On peut représenter ces grandeurs dans un tableau.

I. Procédures de proportionnalité {#i.-procédures-de-proportionnalité-1}

1. Tableau de proportionnalité

Définition :

Un tableau est dit « de proportionnalité » si pour passer de la première ligne à la seconde, on multiplie toujours par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

Grandeur 1	…	…	…
Grandeur 2	…	…	…

\times\,k

\div\,k

Exemples :

Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité.

Taille du fichier (en Mo)	110	242	154
Durée du téléchargement (en s)	5	11	7

\times\,22

\div\,22

Le tableau suivant n'est pas un tableau de proportionnalité.

Température en Celsius (°C)	0	5	10
Température en Fahrenheit (°F)	32	41	50

En effet :

Dans la première colonne pour passer de la deuxième ligne à la première, on multiplie par 0 : 0 x 32 = 0.

Dans la troisième colonne pour passer de la deuxième ligne à la première, on multiplie par $\dfrac{1}{5}$ : $\dfrac{1}{5}$ x 50 = 10.

Remarque :

· Pour montrer qu'un tableau est de proportionnalité, il faut vérifier que le coefficient est le même pour TOUTES LES COLONNES.

· Pour montrer qu'un tableau n'est pas de proportionnalité, il suffit de trouver un coefficient différent pour deux colonnes.

2. Avec le coefficient de proportionnalité

Méthode :

· On détermine le coefficient de proportionnalité $k$ à partir d'une colonne complète à l'aide d'une division.

· Dans la colonne à compléter, on multiplie ou on divise la valeur présente par $k$ .

Grandeur 1	a	b	?
Grandeur 2	?	c	d

\times\,k

\div\,k

k=\dfrac{c}{b}

2. Par passage à l'unité

Règle : Linéarité multiplicative

Dans un tableau de proportionnalité, si dans une ligne on passe d'une colonne à une autre en multipliant par un nombre, il en est de même dans l'autre ligne.

Grandeur 1	a	b
Grandeur 2	c	d

\times\,k

\times\,k

k=\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}

3. Par passage à l'unité

Règle : Linéarité multiplicative

Dans un tableau de proportionnalité, si dans une ligne on passe d'une colonne à une autre en multipliant par un nombre, il en est de même dans l'autre ligne.

Grandeur 1	a	b
Grandeur 2	c	d

\times\,k

\times\,k

k=\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}

4. En utilisant les propriétés additives du tableau de proportionnalité

Règle : Linéarité additive

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner ou soustraire des colonnes pour obtenir une nouvelle colonne.

Grandeur 1	a	b	c
Grandeur 2	d	e	f

\begin{gathered}c=a+b\\f=d+e\end{gathered}

Exercice :

Compléter le tableau de proportionnalité suivant à partir de la vidéo accessible en scannant le QR-Code.

Explique bien tes calculs.

	ChocolatBlanc	Beurre	CrèmeLiquide	Farine	Poudre d’Amandes	Sucre	Œufs
Quantités de la recette	200	120	50	120	50	150	6
Quantités utilisées

II. Applications de la proportionnalité

1. Les pourcentages

Définition :

Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité. Appliquer un taux de t% à une quantité revient à multiplier cette quantité par $\dfrac{\mathbf{t}}{\mathbf{100}}$ .

Exemple :

Dans un magasin, les articles bénéficient d'une réduction de 6%. Voici un tableau (de proportionnalité) qui donne la réduction obtenue en fonction du prix de départ de l'article.

Prix de départ de l’article (en €)	100	50		125
Réduction obtenue (en €)	6		1,5		15

\times\,6\%

Remarque :

Tout comme les fractions, les pourcentages sont des nombres.

On peut écrire, par exemple, 6% = $\dfrac{\mathbf{6}}{\mathbf{100}}$ = 0,06

2. Les échelles

Définition :

L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité :

$\dfrac{\mathbf{distance}\mathbf{\ }\mathbf{sur}\mathbf{\ }\mathbf{le}\mathbf{\ }\mathbf{plan}}{\mathbf{distance}\mathbf{\ }\mathbf{r}\mathbf{é}\mathbf{elle}}$

En pratique, l'échelle d'une carte s'exprime sous la forme d'une fraction ayant pour numérateur 1.

2. Notion de ratio

Propriété :

> On dit que deux nombres $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont dans le ratio 2 : 3 si

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{3}}$

> Ou encore, le tableau suivant est de proportionnalité :

$\mathbf{a}$	$\mathbf{b}$
2	3

> On dit que trois nombres $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$ sont dans le ratio 2 : 3 :5 si

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{c}}{\mathbf{5}}$

> Ou encore, le tableau suivant est de proportionnalité :

$\mathbf{a}$	$\mathbf{b}$	$\mathbf{c}$
2	3	5

Méthode : Partager une quantité selon un ratio donné

· On construit le tableau de proportionnalité comme dans la propriété ci-dessus

· On ajoute une autre colonne avec en première ligne la quantité donnée et en deuxième ligne la somme des nombres du ratio

· On complète le tableau de proportionnalité suivant (selon la méthode de son choix)

Exercice :

Trois amis se partagent 15€ selon le ratio 1 :2 :3. Calculer la somme qui revient à chacun des amis.