5ème — Chapitre 8
La symétrie centrale
 Compétences à acquérir | Auto-évaluation |
|---|---|
| Identifier une symétrie centrale ou axiale | ☆☆☆☆☆☆ |
| Comprendre les effets d'une symétrie centrale dans une figure | ☆☆☆☆☆☆ |
| Tracer le symétrique d'une figure par rapport à un point | ☆☆☆☆☆☆ |
I. Symétrie axiale et médiatrice : rappels
1. Figures symétriques
Définition :
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles sont superposables par pliage le long de cette droite La droite (d) est appelée axe de symétrie
Exemple :
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Ces figures ne sont pas symétriques par rapport à la droite (d) en rouge. | Ces figures sont symétriques par rapport à la droite (d) en rouge. |
2. Médiatrice d'un segment
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par le milieu de ce segment.
Propriétés :
· Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors ce point est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
· Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
Exemple :
La droite (MN) est la médiatrice du segment [AB]. En effet, les points M et N son équidistants de A et de B.
De même, n'importe quel point de la droite (MN) est également équidistant de A et de B.
Méthode : Tracer la médiatrice d'un segment.
· On pointe le compas à une des extrémités de ce segment et on choisit une ouverture supérieure à la moitié du segment. On trace un arc de cercle de part et d'autre du segment.
· On réitère l'opération avec la même ouverture mais sur l'autre extrémité.
· On trace la droite passant par les deux points formés par les points d'intersection des arcs de cercle
3. Symétrique d'un point {#symétrique-dun-point-1}
Définition :
Dire que deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite (d) signifie que la droite est la médiatrice du segment .
Remarque :
Si A appartient à la droite (d), il est alors son propre symétrique. On dit que A est invariant par la symétrie d'axe (d).
Méthode : Tracer le symétrique d'un point par rapport à une droite
· On place deux points sur la droite (d).
· On trace le cercle de centre I passant par A.
· On trace le cercle de centre J passant par A. A' est le point d'intersection des deux cercles.
4. Symétrique de figures usuelles
Propriétés :
· Le symétrique d'une droite par rapport à un axe est une droite
· Le symétrique d'un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur.
· Le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un un cercle de même rayon
· La symétrie axiale conserve alors l'alignement et les longeur et donc les périmètres et les aires. La symétrie axiale conserve également les angles.
Remarque :
Pour tracer le symétrique d'une figure complexe par rapport à une droite (d), il suffit de tracer le symétrique des points utiles par rapport à la droite (d).
Exercice :
Trace le symétrique de la figure suivante par rapport à la droite rouge.
| Correction : On commence par nommer les points de la figure et placer deux points sur l’axe de symétrie.
Ensuite, on utilise le compas pour trouver le symétrique de chacun des points de la figure (sauf et qui appartiennent à l’axe de symétrie et qui sont donc leur propre symétrique)
Enfin, on relie les symétriques dans le même ordre que la figure de base, et on trace le demi-cercle.
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5. Axes de symétrie
Définition :
Un axe de symétrie d'une figure ℱ est une droite (d) telle que la figure symétrique de ℱ par rapport à (d) est la figure ℱ elle-même.
Exercice :
Trace le ou les axe(s) de symétrie des figures suivantes :
II. Symétrie centrale
1. Figures symétriques
Définition :
Deux figures sont symétriques par rapport à O lorsque l'on passe de l'une à l'autre par un demi-tour autour de O. On dit aussi que les deux figures sont l'image l'une de l'autre.
Exemple :
Les deux robots ci-contre sont images l'un de l'autre par rapport à la symétrie de centre O.
2. Symétrique d'un point par rapport à un point
Exercice :
Trace et mesure les segments [OA] et [OA'], [OB] et [OB'] puis [OC] et [OC']. Que constates-tu ?
Que peut-on dire du point O par rapport aux segments [AA'], [BB'] et [CC'] ?
Définition :
Deux points sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment formé par ces deux points.
Dans ce cas, on parle de symétrie centrale, de centre O.
O est le centre de symétrie.
Méthode : Tracer le symétrique d'un point M par rapport à un point O
· On trace la droite (OM).
· On pointe le compas en O et on trace un cercle de rayon OM.
· Le cercle coupe la droite (OM) en M', le symétrique de M par rapport à O.
Remarque :
Pour tracer le symétrique d'une figure complexe par rapport à un point O, il suffit de tracer le symétrique des points utiles par rapport au point O.
3. Propriétés de la symétrie centrale
Propriétés :
· Le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
· Le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon
· Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle
· La symétrie centrale conserve alors l'alignement, les distances et donc les périmètres et les aires. La symétrie axiale conserve également les angles.
Exercice :
Trace le symétrique de la figure suivante par rapport au point O.
4. Centre de symétrie
Définition :
Dire qu'un point est un centre de symétrie d'une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à ce point sont confondus.
Exercice :
Trace le centre de symétrie des figures suivantes :
