Mascotte renard Le Terrier des MathsLe Terrier des Maths
Sommaire
PDFTélécharger Cours complet (PDF)TéléchargerPDF

5ème — Chapitre 5

Les triangles

Compétences à acquérirAuto-évaluation
Inégalité triangulaire☆☆☆☆☆☆
Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d'une figure☆☆☆☆☆☆

I. Rappels

Définition :

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Vocabulaire :

Dans le triangle ABC :

Les points A, B et C sont les sommets.

Les segments [AB], [BC], [AC] sont les côtés.

L'angle ABC^\widehat{\mathbf{ABC}} aussi nommé CBA^\widehat{\mathbf{CBA}} est l'angle compris entre les côtés [AB] et [BC].

Le point C est le sommet opposé au côté [AB].

Le côté [AC] est le côté opposé au sommet B.

II. Construction d'un triangle

Pour construire un triangle, on n'a pas besoin de toutes ses mesures (longueurs des trois côtés, mesures des trois angles). Il existe plusieurs méthodes de construction.

1. Avec les trois longueurs du triangle

Méthode : Tracer un triangle ABC dont on connait les trois longueurs

· On trace [AB].

· On pointe le compas en A et on trace un arc de cercle de rayon AC.

· On pointe le compas en B et on trace un arc de cercle de rayon BC.

· On nomme C le point d'intersection des deux arcs de cercles tracés.

Exercice :

Tracer un triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 5 cm et AC = 4 cm.

2. Avec la longueur d'un côté et la mesure de ses angles adjacents

Méthode : Tracer un triangle ABC dont on connait AB et les angles A^\widehat{A} et B^\widehat{B}.

· On trace [AB]

· On place le rapporteur en A et on reporte l'angle A^\widehat{A}.

· On place le rapporteur en B et on reporte l'angle B^\widehat{B}.

· On prolonge les tracés et on nomme C le point d'intersection des deux demi droites tracées.

Exercice :

Tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, A^\widehat{A} = 40° et B^\widehat{B} = 50°.

3. Avec la mesure d'un angle et la longueur des ses côtés adjacents

Méthode : Tracer un triangle ABC donc on connait l'angle A^\widehat{A} et AB et AC.

· On trace [AC].

· On place le rapporteur en A et on reporte l'angle A^\widehat{A}.

· On trace [AB] sur la demi-droite tracée.

· On relie les points B et C.

Exercice :

Tracer un triangle ABC tel que A^\widehat{A} = 40°, AB = 7 cm et AC = 6 cm.

4. Avec la mesure d'un angle et la longueur de deux côtés non adjacents

Méthode : Tracer un triangle ABC donc on connait l'angle A^\widehat{A} et AB et BC.

· On trace [AB].

· On place le rapporteur en A et on reporte l'angle A^\widehat{A}.

· On pointe le compas en B et on trace un arc de cercle de rayon BC.

· On place C à l'intersection de la demi-droite et de l'arc de cercle.

Exercice :

Tracer un triangle ABC tel que A^\widehat{A} = 50°, AB = 8 cm et BC = 7 cm.

Remarque :

Il est toujours utile de faire une construction à la main avant de se lancer dans les tracés de la figure.

III. Triangles particuliers

Définition :

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse

Définition :

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de même longueur.

Le sommet situé entre ces deux côtés de même longueur est appelé sommet principal et son côté opposé la base.

Les angles situés à la base sont de même mesure.

Définition :

Un triangle équilatéral est un triangle qui possède ses trois côtés de même longueur.

Les angles d'un triangle équilatéral sont de même mesure.

Remarque :

Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.

Définition :

Un triangle quelconque (ou scalène) est un triangle qui possède ses trois côtés de longueurs différentes.

IV. Inégalité triangulaire

Propriété :

Si un triangle est constructible (s'il peut être tracé), Alors la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres (ou égale dans le cas des triangles plats).

Exemple :

Dans un triangle ABC, les longueurs de ses côtés vérifient les inégalités suivantes :

AB≤AC+BC∣∣∣∣AC≤AB+BC∣∣∣∣BC≤AB+AC{AB \leq AC + BC | | | | }{AC \leq AB + BC | | | | }{BC \leq AB + AC}

Propriété (réciproque) :

S'il existe trois longueurs a, b et c telles que :

a≤b+c∣∣∣∣b≤a+c∣∣∣∣c≤a+b{\mathbf{a}\mathbf{\leq}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{ | | | | }}{\mathbf{b}\mathbf{\leq}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{ | | | | }}{\mathbf{c}\mathbf{\leq}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}

Alors il existe un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c.

Propriété (contraposée) :

S'il existe trois longueurs a, b et c telles que :

a>b+c∣∣∣∣ou b>a+c∣∣∣∣ou c>a+b\mathbf{a > b + c | | | | }\mathbf{ou\ b > a + c | | | | }\mathbf{ou\ c > a + b}

Alors il n'existe pas de triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c.

Remarque :

En réalité, il suffit de vérifier si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres longueurs.

Exercice :

Sans rien tracer, dire si on peut construire le triangle ABC suivant :

1) AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.

2) AB = 4 cm, AC = 8 cm et BC = 3 cm.

3) AB = 2 cm, AC = 3 cm et BC = 5 cm.