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5ème — Chapitre 2

Fractions

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Maîtriser la définition de fraction	☆☆☆☆☆☆
Simplifier des fractions	☆☆☆☆☆☆
Connaître les critères de divisibilité	☆☆☆☆☆☆

I. Notion de nombre rationnel

8 est le double de 4 ; soit 4 est la moitié de 8 ou 2 est 4 fois plus petit que 8.

En langage mathématique : 2 x 4 = 8 soit 8 $\mathbf{\div}$ 2 = 4 ou 8 : 4 = 2

28 est 4 fois plus grand que 7 ; soit 7 est 4 fois plus petit que 28 ou 4 est 7 fois plus petit que 28.

En langage mathématique : 4 x 7 = 28 soit 28 $\mathbf{\div}$ 4 = 7 ou 28 : 7 = 4

Exercice :

Complète les égalités suivantes

6 x ........ = 48 5 x .........= 125 12 x ........ = 2 15 x ........... = 3

10 x ........... = 5 25 x ........... =5 120 x ........... = 15 3 x ........... = 10

Définitions :

a et b désignent deux nombres entiers avec b $\neq$ 0

Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a.

On le note a $\mathbf{\div}$ : b ou $\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ . C'est un nombre rationnel.

Définition :

Dans la fraction $\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ :

· a est appelé le numérateur

· b est appelé le dénominateur

II. Egalité de fractions

Exercice :

On a représenté ci-dessous trois fois le même rectangle avec la même surface coloriée. Chacun d'entre eux a été partagé en parts égales de différentes façons.

1) En utilisant les trois rectangles, trouve trois fractions égales.

2) En imaginant d'autres partages, trouve d'autres fractions égales aux précédentes.

Propriété :

On ne change pas la valeur d'une fraction quand on multiplie ou divise son numérateur er son dénominateur par un même nombre non nul.

On obtient une écriture équivalente du même nombre.

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a}\mathbf{\times}\mathbf{k}}{\mathbf{b}\mathbf{\times}\mathbf{k}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a}\mathbf{\div}\mathbf{k}}{\mathbf{b}\mathbf{\div}\mathbf{k}}$

Exemple :

$\dfrac{5}{7} = \dfrac{5 \times 8}{7 \times 8} = \dfrac{40}{56}$

$\dfrac{110}{30} = \dfrac{110 \div 10}{30 \div 10} = \dfrac{11}{3}$

(on dit ici que la fraction a été simplifiée)

III. Différentes écritures d'un nombre

1. Somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1

Propriété :

Une fraction peut s'écrire :

· Soit sous la forme d'un entier

· Soit comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1.

Exemples :

$\dfrac{12}{3} = \dfrac{3 + 3 + 3 + 3}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{3}{3} + \dfrac{3}{3} + \dfrac{3}{3} = 4$

On peut remarquer que 12 est un multiple de 3, en effet : 3 $\times$ 4=12, ou encore 12 $\div$ 3=4 donc $\dfrac{12}{3} = \dfrac{4 \times 3}{3} = 4 \times \dfrac{3}{3} = 4$

$\dfrac{7}{2} = \dfrac{2 + 2 + 2 + 1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + 1 + 1 + \dfrac{1}{2} = 3 + \dfrac{1}{2}$

On peut remarquer, en posant la division euclidienne de 7 par 2 que 7=3 $\times$ 2+1 donc

$\dfrac{7}{2} = \dfrac{3 \times 2 + 1}{2} = 3 \times \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = 3 \times 1 + \dfrac{1}{2} = 3 + \dfrac{1}{2}$

Exercice :

Écrire les fractions suivantes sous la forme d'une somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à 1.

$\dfrac{10}{7};\dfrac{25}{4};\dfrac{12}{4};\dfrac{43}{10};\dfrac{72}{10};\dfrac{47}{5};\dfrac{35}{8};\dfrac{8}{5};\dfrac{20}{5};\dfrac{276}{10}$

Remarque :

Lorsqu'une fraction peut s'écrire comme la somme d'un entier et d'une fraction non nulle (différente de 0) et inférieure à 1, on peut encadrer cette fraction par deux entiers consécutifs (qui se suivent).

Exemple :

$\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 3 +}\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ donc $\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{> 3}$ et $\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{< 4}$ soit $\mathbf{3 <}\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{< 4}$ .

2. Fraction décimale et nombre décimaux

Définition :

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 : 1 , 10 , 100 , 1000 , 10000...

Exemple :

$\dfrac{\mathbf{5}}{\mathbf{1}}\mathbf{; -}\dfrac{\mathbf{7}}{\mathbf{10}}\mathbf{;}\dfrac{\mathbf{215}}{\mathbf{100}}$ sont des fractions décimales.

Définition :

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.

Exemple :

$5; - 0,7;2,15$ sont des nombre décimaux. En effet, on a :

$5 = \dfrac{5}{1}\ \ \ \ \ \ \ - 0,7 = - \dfrac{7}{10}\ \ \ \ \ \ \ 2,15 = \dfrac{215}{100}$

Remarque :

Au final, les nombres rationnels peuvent admettre différentes écritures :

· Écriture fractionnaire

· Somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1

· Fraction décimale (certains rationnels)

· Écriture décimale (seulement les fractions décimales)

Exercice :

Complète le tableau suivant lorsque c'est possible :

Écriture fractionnaire	Somme d'un entier et d'une fraction inférieur à 1	Fraction décimale	Écriture décimale
	$\dfrac{4}{4}+\dfrac{4}{4}+\dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{10}{3}$
		$\dfrac{518}{10}$
			$7,5$