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5ème — Chapitre 1

Calcul littéral (partie 1)

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Produire une expression littérale	☆☆☆☆☆☆
Calculer une expression littérale pour certaines valeurs	☆☆☆☆☆☆
Tester une égalité	☆☆☆☆☆☆

I. Expressions littérales

Définition :

Une expression littérale est constituée de nombres et d'une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Une même lettre désigne toujours un même nombre dans une expression littérale donnée.

1. Formules de périmètre, d'aire et de volume

Exercice :

1) Quelle est la formule du périmètre d'un carré de côté c ?

2) On considère un carré de côté 5 cm, quel est son périmètre ?

3) Si un carré a un périmètre de 10 cm, quelle est la longueur de ses côtés ?

2. Programmes de calcul

Exercice :

·	Choisir un nombre
·	Ajouter 5
·	Multiplier le résultat par 3
·	Soustraire le double du nombre de départ.

On considère le programme de calcul suivant :

1) Vérifier qu'en choisissant 1 au départ, on obtient 16 à la fin.

2) Qu'obtient-on en choisissant 3 au départ ?

3) Si on appelle a le nombre choisi au départ, quelle expression obtient-on à l'issue du programme ?

3. Dans les autres disciplines

Exercice :

En physique, pour calculer la vitesse d'un objet en mouvement on utilise la formule $\mathbf{v}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{d}}{\mathbf{t}}$ .

1) Une cycliste a parcouru 75 km en 3h. Quelle est sa vitesse en km/h ?

2) Un cycliste a roulé pendant 4h à 20 km/h. Combien de km a-t-il parcouru ?

II. Réduire une expression

Définition :

Réduire une expression littérale c'est l'écrire sous la forme d'une somme ayant le moins de termes possible.

Pour cela, on regroupe ensemble les termes de la même forme.

Remarque :

Dans une suite d'additions on peut changer l'ordre des termes.

Exercice :

Réduire les expressions suivantes.

$E = 3 \times a + 7 + 8 \times a - 11$

$F = - 9 \times b - 4 + 2 \times b - 17$

III. Simplifier une expression

Règles : Simplification d'expressions

· On peut ne pas écrire le signe $\times$ lorsqu'il est suivi d'une lettre ou d'une parenthèse.

· On peut simplifier l'écriture d'un produit qui fait intervenir le même nombre grâce à la notation puissance.

Exemples :

L'expression $5 \times a$ peut s'écrire plus simplement $5a.$

L'expression $2 \times (3b + 7)$ peut s'écrire plus simplement $2(3b + 7).$

L'expression $a \times a$ peut s'écrire $a^{2}$ et se lit « $a$ au carré ».

L'expression $b \times b \times b$ peut s'écrire $b^{3}$ et se lit « $b$ au cube ».

L'expression $c \times c \times c \times c$ peut s'écrire $c^{4}$ et se lit « $c$ à la puissance 4 ».

IV. Tester l'égalité d'expressions littérales

Définition :

Une égalité est constituée de deux membres séparés par un signe « = ».

Une égalité est vraie si les deux membres représentent le même nombre, sinon elle est fausse.

Exemples :

4×10=100-60 est une égalité vraie car 4×10=40 et 100-60=40

4×10=40+3 est une égalité fausse car 4×10=40 et 40+3=43

Remarque :

Dans une égalité, on a souvent des expressions littérales. Ce type d'égalité peut être vraie pour certaines valeurs affectées aux lettres et fausse pour d'autres.

Méthode : Tester une égalité d'expressions littérales :

· On calcule séparément les deux membres de l'égalité pour la valeur de lettre donnée.

· On compare les deux résultats obtenus.

· Si les deux résultats sont égaux, alors l'égalité est vérifiée pour la valeur de lettre donnée. Sinon, elle est fausse.

Exercice :

Que peut-on dire de l'égalité $4 \times a + 4 = 32$ en prenant 3 comme valeur de a ?

Que peut-on dire de l'égalité $4 \times a + 4 = 8 \times a$ en prenant 1 comme valeur de a ?

Que peut-on dire de l'égalité $4 \times a + 4 = 8 \times a$ en prenant 2 comme valeur de a ?