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3ème — Chapitre 3

Equations, problèmes

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Résoudre algébriquement différents types d'équations (du premier degré, produit nul, de la forme $x^{2} = a$ )	☆☆☆☆☆☆
Résoudre des problèmes en utilisant le calcul littéral, qui peuvent être internes aux mathématiques ou en lien avec d'autres disciplines	☆☆☆☆☆☆

I. Rappels sur les équations du premier degré

1. Notion d'équation

Définitions :

Une équation est une égalité dans laquelle figurent un ou plusieurs nombres inconnus désignés le plus souvent par des lettres.

Si $a$ , $b$ , $c$ et $d$ désignent des nombres connus et $x$ désigne une inconnue, une équation du premier degré à une inconnue est une égalité pouvant s'écrire sous la forme $\mathbf{ax}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{cx}\mathbf{+}\mathbf{d}$ .

Exemple :

L'égalité $5x + 23 = - 3x + 7$ est une équation du premier degré à une inconnue.

L'égalité $x^{2} - 3x + y + 7 = 5x - 3y$ n'est pas une équation du premier degré à une inconnue

L'égalité $3 = x$ est une équation du premier degré à une inconnue.

Définitions :

Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.

Résoudre une équation c'est trouver, si elles existent, toutes ses solutions.

2. Égalités et opérations

Propriétés :

· Une égalité reste vraie lorsqu'on ajoute (ou soustrait) un même nombre à ses deux membres. Autrement dit, pour tous nombres $a$ , $b$ et $k$ :

Si $\mathbf{\ }\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{b}\mathbf{\ }$ alors $\mathbf{\ }\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{k}\mathbf{=}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{k}\mathbf{\ }$ et $\mathbf{\ }\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{k}\mathbf{=}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{k}$

· Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie (ou divise) par un même nombre non nul ses deux membres. Autrement dit, pour tous nombres $a$ , $b$ et $k \neq 0$ :

Si $\mathbf{\ }\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{b}\mathbf{\ }$ alors $\mathbf{\ }\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{k}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{k}}\mathbf{\ }$ et $\mathbf{\ }\mathbf{a}\mathbf{\times}\mathbf{k}\mathbf{=}\mathbf{b}\mathbf{\times}\mathbf{k}$

3. Résoudre une équation du premier degré

Méthode : Pour résoudre une équation du premier degré d'inconnue $x$ :

· On applique la première propriété vue en 2 pour regrouper tous les termes « en $x$ » dans un membre de l'équation, et tous les termes « sans $x$ » dans l'autre.

· On applique la deuxième propriété vue en 2 pour se retrouver avec une équation du type « $x = \ldots$ » : on a trouvé la solution

· On vérifie que l'on n'a pas fait d'erreur en testant l'équation de départ avec la solution trouvée.

Exercice : Résoudre l'équation $5x + 23 = - 3x + 7$

II. Résoudre une équation produit nul

Définition :

Une équation produit nul est une équation du type $\mathbf{A}\mathbf{\times}\mathbf{B}\mathbf{= 0}$ où les facteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ sont des expressions algébriques.

Propriété :

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul

Méthode : Pour résoudre une équation produit nul $A \times B = 0$ :

· On identifie les deux facteurs du produit $A$ et $B$ .

· On résout l'équation $A = 0$

· On résout l'équation B $= 0$

· Les solutions de $A \times B = 0$ sont toutes les solutions trouvées aux étapes précédentes.

Exercice : Résoudre l'équation $(3x - 2)(5 - 2x) = 0$

Résoudre l'équation 3 $y^{2} - 6y = 0$ en factorisant le membre de gauche.

III. Résoudre une équation de la forme $\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}$

Propriétés :

· Si $a > 0$ alors les solutions de l'équation $x^{2} = a$ sont $\sqrt{\mathbf{a}}$ et $\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{a}}$

· Si $a = 0$ alors la solutiona de l'équation $x^{2} = a$ est $\mathbf{0}$

· Si $a < 0$ alors l'équation $x^{2} = a$ n'a pas de solution

Exercice : Résoudre les équations :

$x^{2} = 9$

$y^{2} = - 4$

$0 = z^{2}$

IV. Modéliser un problème par une équation

Méthode : Pour modéliser une situation par une équation et le résoudre :

· On identifie l'inconnue du problème (ce qu'on cherche) que l'on désigne par une lettre (en général $x$ ). Cette étape est parfois déjà faite dans l'énoncé.

· On identifie les deux éléments égaux de l'énoncé et on traduit cela par une équation

· On résout l'équation et on vérifie que la ou les solutions trouvées rendent bien l'égalité vraie et sont cohérentes (des longueurs ne peuvent pas être négatives, par exemple)

· On répond au problème par une phrase

Exercice :

Rémi, constructeur de piscine, doit construire une piscine avec une terrasse en bois rectangulaires, dont les plans sont ci-contre. Il a malheureusement tâché son plan et n'arrive plus à lire une des longueurs présente sur son plan. Cependant, il se souvient que la surface de la piscine est égale à la surface de la terrasse.

Quelle est la dimension manquante, en mètres ?