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3ème — chapitre 2

Trigonometrie

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Utiliser les lignes trigonométriques dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs ou des mesures d'angles.	☆☆☆☆☆☆

I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Vocabulaire :

Dans un triangle rectangle :

· L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est aussi le côté le plus long.

· Le côté d'un angle aigu, qui n'est pas l'hypoténuse est appelé le côté adjacent à l'angle aigu

· Le côté non adjacent à l'angle aigu est appelé côté opposé à l'angle aigu.

Définitions :

Dans le triangle ABC rectangle en C, les rapports de longueur $\dfrac{CA}{AB}$ , $\dfrac{CB}{AB}$ , et $\dfrac{CB}{CA}$ ne dépendent que de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}.$ Ainsi, on appelle :

· Cosinus d'un angle aigu le quotient $\dfrac{\mathbf{longueur\ du\ c}\mathbf{ô}\mathbf{t}\mathbf{é\ }\mathbf{adjacent\ }\mathbf{à\ }\mathbf{l}^{\mathbf{'}}\mathbf{angle}}{\mathbf{longueur\ de\ }\mathbf{l}^{\mathbf{'}}\mathbf{hypot}\mathbf{é}\mathbf{nuse}}$

· Sinus d'un angle aigu le quotient $\dfrac{\mathbf{longueur\ du\ c}\mathbf{ô}\mathbf{t}\mathbf{é\ }\mathbf{oppos}\mathbf{é\ à\ }\mathbf{l}^{\mathbf{'}}\mathbf{angle}}{\mathbf{longueur\ de\ }\mathbf{l}^{\mathbf{'}}\mathbf{hypot}\mathbf{é}\mathbf{nuse}}$

· Tangente d'un angle aigu le quotient $\dfrac{\mathbf{longueur\ du\ c}\mathbf{ô}\mathbf{t}\mathbf{é\ }\mathbf{oppos}\mathbf{é\ à\ }\mathbf{l}^{\mathbf{'}}\mathbf{angle}}{\mathbf{longueur\ du\ c}\mathbf{ô}\mathbf{t}\mathbf{é\ }\mathbf{adjacent\ }\mathbf{à\ }\mathbf{l}^{\mathbf{'}}\mathbf{angle}}$

Remarque :

Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des nombres sans unité.

Pour retenir les formules, tu peux retenir l'astuce mnémotechnique « CAH SOH TOA » :

$cos(angle) = \dfrac{Adjacent}{Hypoténuse}sin(angle) = \dfrac{Opposé}{Hypoténuse}tan(angle) = \dfrac{Opposé}{Adjacent}$

Exemple :

Dans le triangle ABC rectangle en C ci-contre, on peut affirmer que :

$cos(53,13^{\circ}) = \dfrac{3}{5}sin(53,13^{\circ}) = \dfrac{4}{5}tan(53,13^{\circ}) = \dfrac{4}{3}$

$cos(36,87^{\circ}) = \dfrac{4}{5}sin(36,87^{\circ}) = \dfrac{3}{5}tan(36,87^{\circ}) = \dfrac{3}{4}$

Propriété :

Le cosinus et le sinus d'un angle sont toujours compris entre 0 et 1.

(Attention : ce n'est pas forcément le cas pour la tangente !)

II. Déterminer les longueurs de côtés et des mesures d'angles dans un triangle rectangle

1. Déterminer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

Méthode : Pour déterminer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle :

Il faut pour cela connaître la mesure d'un angle aigu et la longueur d'un côté du triangle.

Point calculatrice : Attention, vérifie bien que ta calculatrice est en mode degré : le symbole (Casio) ou (Texas) apparaît en haut de l'écran !

	Calcul de cos 36°	Calcul de sin 75°	Calcul de tan 50°
Touches Casio
Touches Texas
Affichage calculatrice
Trace écrite	$cos36°≈0,81$	$sin75°≈0,97$	$tan50°≈1,91$

Exercice : Déterminer la longueur HB au millimètre près.

Remarque :

Si on connaît deux longueurs de côtés et qu'on cherche la longueur du troisième côté, dans un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore !

2. Déterminer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Méthode : Pour déterminer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle :

Il faut pour cela connaître la longueur de deux côté du triangle.

Point calculatrice : Attention, vérifie bien que ta calculatrice est en mode degré : le symbole (Casio) ou (Texas) apparaît en haut de l'écran !

	Calcul de $ABC$ tel que $cosABC=0,3$	Calcul de $ABC$ tel que $sinABC=0,6$	Calcul de $ABC$ tel que $tanABC=0,8$
Touches Casio
Touches Texas
Affichage calculatrice
Trace écrite	$ABC≈73°$	$ABC≈37°$	$ABC≈39°$

Exercice : Quelle est la mesure de l’angle $BAL$ , dans le triangle BAL rectangle en L ci-dessous ? Arrondir au dixième près.

Remarque :

Si on connaît mesures d'angle et qu'on cherche la mesure du troisième angle, on peut utiliser la propriété : « La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180° » !