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6ème — Espace et Géométrie -- Chapitre 20

Angles

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Estimer si un angle est droit, aigu, obtus	☆☆☆☆☆☆
Utiliser un rapporteur pour mesurer un angle en degrés	☆☆☆☆☆☆
Construire, à l'aide d'un rapporteur, un angle de mesure donnée en degrés	☆☆☆☆☆☆
Connaître et utiliser les angles ainsi que le lexique et les notations qui s'y rapportent	☆☆☆☆☆☆
Connaître la définition de la bissectrice d'un angle saillant	☆☆☆☆☆☆

I. Mesurer un angle

1. Définition d'un angle

Petit point d'Histoire :

Le degré (comme mesure d'angle, pas de température !) vient des babyloniens, qui comptaient en base 60.

Son origine viendrait du fait que le triangle équilatéral était considéré comme une figure simple, et donc couper l'un de ses angles en 60 aurait donné le degré.

Définition :

Un angle est une partie du plan délimitée par deux demi-droites de même origine, appelé sommet.

En traçant deux demi-droites de même origine, on définit deux angles :

· Un angle saillant : c'est un angle qui fait « une pointe ». On le note $\widehat{\mathbf{AOB}}$ .

· Un angle rentrant : c'est un angle qui fait « un creux ». On le note $\check{\mathbf{AOB}}$ .

Remarque :

Dans le reste du cours, on considèrera les angles saillants.

On marque l'angle par un arc de cercle. Pour nommer un angle, il faut connaître son sommet et un point de chacune des demi-droites le définissant.

Exemple :

Sur cette figure, l'angle défini par les demi-droites [AC) et [AB) est l'angle $\widehat{\mathbf{CAB}}$ ou $\widehat{\mathbf{BAC}}$

Le sommet de l'angle ainsi défini est A.

Exercice :

Sur cette figure, trace :

· En rouge l'angle $\widehat{ADC}$

· En bleu l'angle $\widehat{CAB}$

· En vert l'angle $\widehat{ABD}$

· En noir l'angle $\widehat{BCD}$

2. Mesurer un angle

Définition :

L'unité utilisée au collège pour mesurer les angles est le degré, noté °.

L'instrument de mesure des angles est le rapporteur.

Vocabulaire :

On donne un certain nom aux angles en fonction de leur mesure.

Angle	Mesure	Figure
Nul	Egal à 0°
Aigu	Entre 0° et 90°
Droit	Egal à 90°
Obtus	Entre 90° et 180°
Plat	Egal à 180°

II. Utilisation du rapporteur

Définition :

Un rapporteur est un instrument de mesure permettant de mesurer des angles.

1. Mesurer un angle au rapporteur

Méthode :

Pour déterminer la mesure d'un angle, il faut :

· Faire coïncider le centre du rapporteur avec le sommet de l'angle.

· Faire coïncider un côté de l'angle avec le 0° d'une des graduations.

· Lire la mesure sur la graduation qui coïncide avec l'autre côté de l'angle.

Exercice :

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ ci-dessous ?

2. Construire un angle au rapporteur

Méthode :

Pour tracer un angle de mesure donnée, il faut :

· Tracer une demi-droite qui sera un des côtés de l'angle.

· Faire coïncider le centre du rapporteur avec l'origine et la graduation 0° sur la demi-droite tracée.

· Repérer la graduation associée à la mesure demandée, et tracer la demi-droite passant par cette graduation et l'origine.

Remarque :

Lorsque le segment tracé est trop court pour pouvoir lire l'angle ou placer correctement le rapporteur, il suffit de le prolonger.

Exercice :

Placer un point C tel que l'angle $\widehat{ABC}$ mesure 140°.

III. Angles d'un triangle

1. Bissectrice d'un angle

Définition :

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

2. Bissectrices des angles d'un triangle

Propriété :

Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Ce point de concours est le centre du cercle inscrit au triangle.

Astuce :

Pour tracer le cercle inscrit à un triangle donné, il n'est pas nécessaire de tracer les bissectrices de tous ses angles : seules deux suffisent !

Exercice :

Tracer le cercle inscrit du triangle $ABC$ ci-dessous

3. Somme des angles d'un triangle

Propriété : Dans un triangle, la somme de la mesure de ses angles est égale à 180°.

Exercice :

Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\mathbf{EFU}}$ .

IV. Quelques angles à retenir

1. Angles adjacents

Définition :

Deux angles sont adjacents lorsque :

· Ils ont le même sommet

· Ils ont un sommet en commun

· Ils sont situés de part et d'autre du côté commun

Remarque :

Si l'un des points de la définition n'est pas respecté, les angles ne sont pas adjacents.

Ces angles ne sont pas adjacents car ils n'ont pas le même sommet.

Ces angles ne sont pas adjacents car l'un contient l'autre.

2. Angles complémentaires

Définition :

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.

Remarque :

Deux angles complémentaires ne sont pas forcément adjacents.

Par exemple, dans cette figure, les angles $\widehat{\mathbf{BCD}}$ et $\widehat{\mathbf{CDE}}$ sont complémentaires. En effet $\widehat{\mathbf{BCD}}\mathbf{+}\widehat{\mathbf{CDE}}\mathbf{= 46 + 44 = 90}\mathbf{}^{\mathbf{\circ}}$ .

3. Angles supplémentaires

Définition :

Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.

Remarque :

Deux angles supplémentaires ne sont pas forcément adjacents.

Par exemple, dans cette figure, les angles $\widehat{\mathbf{ABC}}$ et $\widehat{\mathbf{BCD}}$ sont supplémentaires. En effet $\widehat{\mathbf{ABC}}\mathbf{+}\widehat{\mathbf{BCD}}\mathbf{= 134 + 46 = 180}\mathbf{}^{\mathbf{\circ}}$ .

4. Angles opposés par le sommet

Définition :

Deux angles sont opposés par le sommet lorsque :

· Ils ont le même sommet

· Leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre

Propriété :

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.