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6ème — Espace et Géométrie -- chapitre 7

Positions relatives de deux droites et polygones

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Utiliser les notations pour le parallélisme et la perpendicularité	☆☆☆☆☆☆
Démontrer que deux droites sont parallèles ou perpendiculaire	☆☆☆☆☆☆
Tracer la droite parallèle à une autre passant par un point donné	☆☆☆☆☆☆
Tracer la droite perpendiculaire à une autre passant par un point donné	☆☆☆☆☆☆

I. Positions relatives de droites

1. Droites sécantes

Définition :

Deux droites sécantes sont deux droites ayant un seul point commun que l'on appelle le point d'intersection.

Exemple :

Les droites (d) et (d') sont sécantes en O. Autrement dit, le point d'intersection des droites (d) et (d') est le point O.

2. Droites perpendiculaires

Définition :

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes formant quatre angles droits.

Lorsque deux droites (d) et (d') sont perpendiculaires, on note (d) $\mathbf{\bot}$ (d') (ou (d') $\mathbf{\bot}$ (d)).

On code également la figure avec un petit carré au niveau de l'intersection.

3. Droites parallèles

Définition :

Deux droites distinctes sont dites parallèles si elles n'ont aucun point en commun.

Lorsque deux droites (d) et (d') sont perpendiculaires, on note (d) // (d')

Exemple :

Dans la figure ci-contre, on a $\left( d_{1} \right)$ // $\left( d_{3} \right)$ et $\left( d_{2} \right)\bot\left( d_{4} \right)$ .

4. Tracer des droites parallèles et perpendiculaires

Propriétés :

· Par un point donné, il ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

· Par un point donné, il ne passe qu'une seule droite parallèle à une droite donnée.

Exercice :

Tracer sur la figure ci-contre la droite $\left( d_{1} \right)$ perpendiculaire à $(d)$ et passant par le point $A$ .

Tracer ensuite la droite $(d_{2})$ telle que $(d)$ // $\left( d_{2} \right)$ et $B \in \left( d_{2} \right)$ .

5. Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

Exercice : Sur la figure ci-contre, on a tracé une droite (d) et placé un point A n'appartenant pas à (d). On souhaite tracer la droite parallèle à (d) passant par A.

1°) Trace en vert la droite perpendiculaire à (d) passant par A. On la note (d'). Code la figure.

2°) Trace en rouge la droite perpendiculaire à (d') passant par A. On la note (d'').

3°) Que peux-tu conjecturer des droites (d) et (d'') ?

Propriétés :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre

Propriétés :

Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles

II. Distance d'un point à une droite

Définition :

La distance d'un point à une droite est la longueur du plus petit segment reliant ce point à l'un des points de la droite.

Exemple :

La distance de $A$ à $(d)$ est $AD$ , c'est-à-dire 1,5 cm

Propriétés :

La distance d'un point M à une droite (d) est la longueur du segment reliant le point M au pied de la perpendiculaire à (d) passant par ce même point M.

Exercice : Déterminer la distance du point $A$ à la droite $(d)$

III. Polygones usuels

1. Triangles

Définition :

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Vocabulaire :

Dans le triangle ABC :

Les points A, B et C sont les sommets.

Les segments [AB], [BC], [AC] sont les côtés.

L'angle $\widehat{\mathbf{ABC}}$ aussi nommé $\widehat{\mathbf{CAB}}$ est l'angle compris entre les côtés [AB] et [BC].

Le point C est le sommet opposé au côté [AB].

Le côté [AC] est le côté opposé au sommet B.

Méthode : Tracer un triangle ABC dont on connait les trois longueurs

· On trace [AB].

· On pointe le compas en A et on trace un arc de cercle de rayon AC.

· On pointe le compas en B et on trace un arc de cercle de rayon BC.

On nomme C le point d'intersection des deux arcs de cercles tracés.

Exercice :

Trace le triangle RIZ tel que RI = 3 cm et IZ = 4 cm et RZ=6 cm.

Définition :

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de même longueur.

Le sommet situé entre ces deux côtés de même longueur est appelé sommet principal et son côté opposé la base.

Les angles situés à la base sont de même mesure.

Définition :

Un triangle équilatéral est un triangle qui possède ses trois côtés de même longueur.

Les angles d'un triangle équilatéral sont de même mesure.

Remarque :

Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.

Définition :

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse

Méthode : Tracer un triangle ABC rectangle en B dont les côtés de l'angle droit sont connus (AB et BC)

· On trace à la règle graduée [AB].

· On trace à l'équerre la demi-droite d'origine B perpendiculaire à [AB]

· On place le point C sur cette demi-droite à la bonne distance de B

· On relie les points A et C

Exercice :

Trace le triangle OUF rectangle en U tel que OU = 3 cm et UF = 4 cm.

Méthode : Tracer un triangle ABC rectangle en B dont l'hypoténuse et un côté de l'angle droit sont connus (AB et AC)

· On trace à la règle graduée [AB].

· On trace à l'équerre une demi-droite perpendiculaire à [AB], d'origine B

· On trace un arc de cercle de centre A et de rayon AC. Il coupe la demi-droite tracée en C.

· On relie les points A et C, et on gomme la partie de la demi-droite inutile

Exercice :

Trace le triangle GAZ rectangle en A tel que GA = 4 cm et GZ = 6 cm.

2. Quadrilatères {#quadrilatères-1}

Définition :

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Vocabulaire :

Dans le quadrilatère ABCD ci-contre :

· A, B, C et D sont les quatre sommets.

· [AB], [BC], [CD] et [DA] sont les quatre côtés.

· [AC] et [BD] sont les diagonales.

Remarque :

Pour nommer un quadrilatère, on choisit un point de départ, puis on nomme les autres points dans l'ordre en tournant dans un sens ou dans l'autre.

Il existe donc plusieurs noms au quadrilatère de l'encadré ci-dessus : ABCD, BCDA, CDAB, DABC mais aussi ADCB, DCBA, CBAD, BADC.

Exemple :

Les quadrilatères sont de différents types : convexes (aucun « renfoncement »), non convexes, croisés. ET certains ont des particularités sur leurs angles et leurs côtés.

3. Propriétés sur le rectangle, le losange et le carré

Propriété :

Dans un rectangle :

· Pour les côtés :

Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur

· Pour les angles :

Il y a quatre angles droits

· Pour les diagonales :

Les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu

Propriété :

Dans un losange :

· Pour les côtés :

Les quatre côtés sont de même longueur

· Pour les angles :

Les angles opposés sont de même mesure

· Pour les diagonales :

Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu

Propriété :

Dans un carré :

· Pour les côtés :

Les quatre côtés sont de même longueur et parallèles deux à deux

· Pour les angles :

Il y a quatre angles droits

· Pour les diagonales :

Les diagonales sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu

IV. Un nouveau quadrilatère : le parallélogramme

Définition :

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont deux à deux parallèles

Propriété :

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu :

I. Positions relatives de droites

1. Droites sécantes

2. Droites perpendiculaires

3. Droites parallèles

4. Tracer des droites parallèles et perpendiculaires

5. Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

II. Distance d'un point à une droite

III. Polygones usuels

1. Triangles

2. Quadrilatères {#quadrilatères-1}

3. Propriétés sur le rectangle, le losange et le carré

IV. Un nouveau quadrilatère : le parallélogramme

V. Carte mentale des quadrilatères