Droites remarquables des triangles

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Connaitre la définition des hauteurs et des médiatrices d'un triangle	☆☆☆☆☆☆
Savoir tracer les hauteurs et médiatrices de triangles	☆☆☆☆☆☆
Construire et coder une figure	☆☆☆☆☆☆

I. Médiatrices d'un triangle

Définition :

Les médiatrices d'un triangle sont les médiatrices des côtés du triangle, c'est à dire les trois droites perpendiculaires aux côtés qui passent par leur milieu.

Méthode : Tracer la médiatrice d'un segment.

· On pointe le compas à une des extrémités de ce segment et on choisit une ouverture supérieure à la moitié de la longueur du segment. On trace un arc de cercle de part et d'autre du segment.

· On réitère l'opération avec la même ouverture mais sur l'autre extrémité.

· On trace la droite passant par les deux points formés par les points d'intersection des arcs de cercle : c'est la médiatrice du segment.

Propriété :

Dans un triangle, les médiatrices de ses côtés sont concourantes en un point que l'on appelle le point de concours des médiatrices.

Propriété :

Le point de concours des médiatrices des côtés d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Astuce :

Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle donné, il n'est pas nécessaire de tracer les médiatrices de tous ses côtés : seules deux suffisent !

Exercice :

1°) a) Tracer un triangle ABC tel que AB=4,5cm, AC=6cm et BC= 7cm.

b) Tracer les médiatrices de [AB], [BC] et [AC].

c) Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC.

2°) a) Tracer un triangle DEF tel que EF=6cm, DE=10cm et DF=8cm.

b) Tracer le cercle circonscrit à DEF. Que remarque-t-on ?

II. Hauteurs d'un triangle {#ii.-hauteurs-dun-triangle-1}

Définition :

Les hauteurs d'un triangle sont les trois droites perpendiculaires aux côtés qui passent par le sommet opposé.

Méthode : Tracer hauteur issue d'un sommet dans un triangle.

Cas 1 : Le triangle est « classique »

· On trace la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté oppose

Cas 2 : Le triangle est « allongé » :

· On prolonge le côté opposé au sommet que l'on considère

· On trace la droite passant par ce sommet qui coupe perpendiculairement la droite tracée précédemment.

Propriété :

Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.

Exemple :

Ici, H est le point de concours de la hauteur issue de C et de celle issue de B.

Donc, (AH) est la hauteur issue de A.