Mascotte renard Le Terrier des MathsLe Terrier des Maths
Sommaire
PDFTélécharger Cours complet (PDF)TéléchargerPDF

5ème — Chapitre 7

Périmètres et aires

Compétences à acquérirAuto-évaluation
Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables☆☆☆☆☆☆
Exprimer les résultats dans les unités adaptées☆☆☆☆☆☆
Vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités☆☆☆☆☆☆
Effectuer des conversions d'unités☆☆☆☆☆☆

Petit point d'Histoire :

En 1795, on trouve plus de 700 unités de mesures différentes qui varient d'une ville à l'autre. Source d'erreurs et de fraudes lors du commerce, cette situation porte préjudice au développement des sciences. On tente de changer cela : l'idée est d'assurer l'invariabilité des mesures en les rapportant à un étalon universel emprunté à un phénomène naturel.

En 1791 nait le mètre (du grec *metron*, mesure), dont la longueur est établie comme égale au dix-millionième du quart du méridien terrestre. L'unité de mesure de base étant déterminée, il suffit désormais d'établir toutes les autres unités de mesure qui en découlent : le mètre carré et le mètre cube, le litre, le gramme.

Le système international des unités (SI) est officiellement né en 1960, il permet de rapporter toutes les unités de mesure à un petit nombre d'étalons.

I. Longueurs et périmètres {#i.-longueurs-et-périmètres-1}

1. Unités de longueur

Définition :

Pour désigner les multiples ou les subdivisions des mesures, on utilise les préfixes :

Préfixe

Kilo

Hecto

Déca

Déci

Centi

Milli

Signification

1000

100

10

1

110\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}

1100\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{100}}

11000\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 000}}

Abréviation

k

h

da

d

c

m

Le tableau qu'on utilise pour les unités de mesure est le suivant :

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Pour convertir d'une unité à l'autre, on multiplie ou on divise par 10, 100, 1000, ...

Astuce :

La phrase « Killian et Hector décampent en métro et décident de s'enfuir chez Émilie » permet de retenir ce tableau.

Exemple :

973,21 m=9 7 32,1 dm = 9 7 32,1 hm = 9 7 32,1 mm

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

9

7

3

2

1

2. Périmètre d'un polygone

Propriété :

Pour calculer le périmètre d'un polygone, on additionne la mesure de chacun des segments qui le composent.

Exemples :

On choisit comme unité de longueur le côté d'un carreau :

· le périmètre de la figure A vaut 12 ;

· le périmètre de la figure B vaut 10

· le périmètre de la figure C vaut 12.

II. Surface et aire

Définition :

La surface d'une figure est la partie située à l'intérieur de son contour.

Sa mesure s'appelle l'aire, qui est le nombre d'unités d'aire que la figure contient.

Astuce :

Lorsque l'on n'a pas une unité d'aire entière :

On prend une partie de l'unité d'aire : la moitié=12\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}=0,5 ; le quart=14\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}=0,25

On « découpe » une partie de la figure afin de la déplacer ailleurs pour former une unité d'aire.

Exemples :

Unité

Figure A

Figure B

Figure C

u1

5

4,5

4

u2

20

18

16

u3

10

9

8

En fonction de l'unité d'aire choisie (u1, u2, u3u_{1},\ u_{2},\ u_{3}), on obtient différentes aires :

Définition :

Pour désigner une aire, on utilise le mètre carré (m²) et ses multiples et sous-multiples.

Pour les mesures agraires, on utilise l'are (a) qui équivaut à 100 m² et l'hectare (ha) qui vaut 1 00 ares, c'est-à-dire 10 000 m²:

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

Pour convertir d'une unité à l'autre, on multiplie ou on divise par 100, 10 000, 1 000 000, ...

III. Périmètres et aires de figures usuelles

Propriété :

Figure

Mesures

Exemple

Calculs

Rectangle :

P=2(L+l)\mathcal{P}\mathbf{=2(}\mathbf{L}\mathcal{+l)}

A=L×l\mathcal{A=}\mathbf{L}\mathcal{×l}

P=20,2+0,3\mathcal{P}\mathbf{=2}\mathbf{0,2+0,3}
=1dm\mathbf{=1}\mathbf{dm}

A=0,2×0,3\mathcal{A}\mathbf{=0,2×0,3}
=0,06dm2\mathbf{=0,06}\mathbf{d}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}

Pour le cas particulier du carré de côté cc, on a P=4c\mathcal{P}\mathbf{=4}\mathbf{c} et A=c2\mathcal{A=}\mathbf{c}^{\mathbf{2}}

Triangle :

A=b×h2\mathcal{A=}\dfrac{\mathbf{b}\mathbf{×}\mathbf{h}}{\mathbf{2}}

h est la hauteur du triangle

A=27×262\mathcal{A}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{27×26}}{\mathbf{2}}
=351mm²\mathbf{=351}\mathbf{mm}\mathbf{²}

Dans le cas du triangle rectangle, on choisit comme base et comme hauteur les deux côtés de l’angle droit.

Disque :

P=2πr\mathcal{P}\mathbf{=2}\mathbf{πr}

A=πr²\mathcal{A=}\mathbf{πr}\mathbf{²}

P=2π×1,2\mathcal{P}\mathbf{=2}\mathbf{π}\mathbf{×1,2}
≈7,54cm\mathbf{≈7,54}\mathbf{cm}

A=π×1,22\mathcal{A}\mathbf{=}\mathbf{π}\mathbf{×}\mathbf{1,2}^{\mathbf{2}}
≈4,52cm\mathbf{≈4,52}\mathbf{cm}