Fractions (partie 2)

Compétences à acquérir	Auto-évaluation
Comparer deux fractions	☆☆☆☆☆☆
Additionner et soustraire des fractions	☆☆☆☆☆☆
Résoudre des problèmes faisant intervenir des fractions	☆☆☆☆☆☆

I. Rappels

1. Fraction

Définitions :

a et b désignent deux nombres entiers avec b $\neq$ 0

Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a.

On le note a $\mathbf{\div}$ : b ou $\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ . C'est un nombre rationnel.

Définition :

Dans la fraction $\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ :

· a est appelé le numérateur

· b est appelé le dénominateur

2. Egalité de fractions

Propriété :

On ne change pas la valeur d'une fraction quand on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

On obtient une écriture équivalente du même nombre.

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a}\mathbf{\times}\mathbf{k}}{\mathbf{b}\mathbf{\times}\mathbf{k}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a}\mathbf{\div}\mathbf{k}}{\mathbf{b}\mathbf{\div}\mathbf{k}}$

II. Comparaison de fractions

Méthode :

· Pour comparer deux fractions au même dénominateur, il suffit de comparer les numérateurs : la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande

· Pour comparer deux fractions ayant des dénominateurs différents, on modifie l'écriture des fractions pour qu'elles aient le même dénominateur.

Exemple :

Pour comparer $\dfrac{\mathbf{6}}{\mathbf{5}}$ et $\dfrac{\mathbf{11}}{\mathbf{10}}$ , on peut avoir le même dénominateur, ici 10.

On a $\dfrac{\mathbf{6}}{\mathbf{5}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{6 \times 2}}{\mathbf{5 \times 2}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{12}}{\mathbf{10}}$ , et $\dfrac{\mathbf{12}}{\mathbf{10}}\mathbf{>}\dfrac{\mathbf{11}}{\mathbf{10}}$ donc $\dfrac{\mathbf{6}}{\mathbf{5}}\mathbf{>}\dfrac{\mathbf{11}}{\mathbf{10}}$ .

III. Opérations sur les fractions

1. Addition de fractions

Propriété :

$a,\ b$ et $c$ désignent trois nombres entiers, avec $c\ \neq 0$ .

On a :

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}\mathbf{+}\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{c}}$

Exemples :

$\dfrac{4}{11} + \dfrac{3}{11} = \dfrac{4 + 3}{11} = \dfrac{7}{11}$

$\dfrac{15}{37} + \dfrac{13}{37} = \dfrac{15 + 13}{37} = \dfrac{28}{37}$

Méthode :

Pour additionner deux fractions ayant des dénominateurs différents, on modifie l'écriture des fractions pour qu'elles aient le même dénominateur.

2. Soustraction de fractions

Propriété :

a, b et c désignent trois nombres entiers, avec c $\neq$ 0.

On a :

$\dfrac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}\mathbf{-}\dfrac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\dfrac{\mathbf{a - b}}{\mathbf{c}}$

Exemples :

$\dfrac{4}{11} - \dfrac{3}{11} = \dfrac{4 - 3}{11} = \dfrac{1}{11}$

$\dfrac{15}{37} - \dfrac{13}{37} = \dfrac{15 - 13}{37} = \dfrac{2}{37}$

Méthode :

Pour soustraire deux fractions ayant des dénominateurs différents, on modifie l'écriture des fractions pour qu'elles aient le même dénominateur.