Equations problemes

On considère le programme de calcul ci-dessous.

1) Vérifier qu'en choisissant 1 comme nombre de départ, on obtient $- 2$ avec ce programme de calcul.

2) On note $x$ le nombre choisi au départ.

a) Montrer que le résultat du programme est $8x - 10$ .

b) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme soit égal à 0 ?

3) Question d'algorithmique

a) On considère ci-dessous le programme de calcul B, réalisé avec le logiciel « Scratch ».

*Programme B*

En appliquant ce programme de calcul au nombre 1, quel résultat final obtient-on ?

b) Montrer que le résultat du programme A est toujours le même que celui du programme B quel que soit le nombre choisi au départ.

On considère le programme A suivant :

1) Appliquer le programme A au nombre 5.

2) On utilise un tableur pour trouver les résultats correspondants à quelques nombres comme l'indique le tableau ci-contre. Parmi les quatre formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers le bas afin de calculer les résultats donnés par le programme A. Aucune justification n'est attendue.

3) `A l'aide du tableur, donner une valeur pour laquelle le programme A donne 0. Aucune justification n'est attendue.

2) Si on note $x$ le nombre de départ, donner une expression littérale du programme A en fonction de $x$ .

On considère maintenant le programme B suivant :

3) Appliquer le programme B au nombre 5.

4) Si on note $x$ le nombre de départ, donner une expression littérale du programme B en fonction de $x$ .

5) Mathis affirme que, quel que soit le nombre qu'il choisit, il trouvera le même résultat avec le programme A et le programme B. A-t-il raison ? Justifier.

6) Résoudre l'équation $(3x - 2)(x + 3) = 0$ . En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles les programmes A et B donnent 0.

Voici deux programmes de calcul :

1) On choisit 1 comme nombre de départ. Vérifier que le résultat obtenu avec le programme A est $- 21$ .

2) On choisit 10 comme nombre de départ. Calculer le résultat obtenu avec le programme B.

3) Donner tous les nombres de départ possibles qui permettent d'obtenir 16 avec le programme B.

4) (Question algorithmique)

Le programme ci-contre a été conçu avec le logiciel Scratch. Recopier et compléter sur la copie les lignes 3, 4 et 5 pour qu'il affiche le résultat obtenu avec le programme A lorsqu'un nombre de départ est saisi. Aucune justification n'est attendue.

5) On choisit $x$ comme nombre de départ. Montrer que le résultat obtenu avec le programme A est $x^{2} + 2x - 24$ .

6) On cherche quel nombre de départ choisir pour que les programmes A et B donnent le même résultat. Écrire une équation permettant d'obtenir ce nombre de départ, puis la résoudre.

Dans cet exercice. $x$ représente un nombre supérieur ou égal à 5.

Voici, ci-dessous, deux figures géométriques : un rectangle ABCD et un triangle isocèle IJK.

Partie A

1) a) Calculer la longueur AB pour $x = 10$ .

**b)**Justifier que le périmètre du rectangle ABCD vaut $78$ pour $x = 10$ .

2) Montrer que le périmètre du rectangle ABCD, en fonction de $x$ , est $8x - 2$ .

Partie B

Nour a exprimé, en fonction de $x$ , le périmètre du triangle isocèle IJK et a obtenu $6x + 9$ .

Nour souhaite trouver pour quelle valeur de $x$ le périmètre du rectangle ABCD et le périmètre du triangle IJK sont égaux.

Pour cela, Nour a créé le programme Scratch ci-contre qui permet de tester, pour une valeur donnée de $x$ , si les périmètres sont égaux :

1) Question algorithmique

Que renvoie le programme si Nour saisit $7$ ?

2) Avec le programme précédent, Nour n'a pas réussi à trouver une valeur exacte de $x$ pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux. Nour décide d'utiliser un tableur et les formules trouvées précédemment :

- $8x - 2$ pour le périmètre du rectangle $ABCD$

- $6x + 9$ pour le périmètre de triangle isocèle $IJK$

Voici ci-dessous un extrait de la feuille de calcul dans laquelle Nour a fait afficher le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle pour différentes valeurs de $x$ .

a) Recopier sur la copie la formule que Nour a saisie dans la cellule B2 avant de l'étirer vers le bas pour obtenir les résultats affichés.

b) En observant sa feuille de calcul, Nour affirme : « S'il existe une valeur de $x$ pour laquelle le périmètre du rectangle ABCD et le périmètre du triangle IJK sont égaux, elle est comprise entre $5$ et $6$ . » Expliquer le raisonnement de Nour. Argumenter la réponse en précisant la démarche.

3) Comme elle n'a pas obtenu la solution exacte avec les méthodes précédentes, Nour propose de résoudre algébriquement l'équation $8x - 2 = 6x + 9$ . Résoudre cette équation afin de déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux.

On considère les deux programmes de calcul suivants :

1) Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4, le résultat obtenu avec le programme A est 5.

2) Montrer que, lorsque le nombre choisi est $- 2$ , le résultat obtenu avec le programme A est 5.

3) Justifier que l'affirmation suivante est vraie : « Le programme A donne toujours le même résultat. »

4) Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on avec le programme B ?

5) Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B fournissent à chaque fois des résultats identiques. Quels sont ces deux nombres?

Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.

On considère :

- le rectangle ABCD tel que AD = $x$ et AB = $16 - 2x$ ;

- le carré EFGH tel que EF $= 2x$ .

PARTIE A : Dans cette partie, $x = 1,5\ cm$ .

1) Calculer le périmètre du carré EFGH.

2) Calculer AB.

3) Construire en vraie grandeur le rectangle ABCD.

4) Les périmètres de ABCD et EFGH sont-ils égaux ?

PARTIE B : Dans cette partie, on cherche pour quelle(s) valeur(s) de $x$ , le périmètre du rectangle est égal au périmètre du carré.

1) Pour essayer de répondre au problème, on utilise la feuille de calcul suivante:

a) Quel formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l'étirer jusqu'à G2?

b) Ce tableau nous permet-il de trouver une valeur de $x$ pour laquelle les deux périmètres sont égaux ?

2) a) Montrer que le périmètre du rectangle peut s'écrire $- 2x + 32$ .

b) Déterminer la solution au problème par la résolution d'une équation.