3ème

Trigonometrie

FICHE D'EXERCICES

Trigonométrie

~ Triangles rectangles ~

Ex 19 p. 525

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $ABC$ rectangle en $B$ ; $H$ est le pied de la hauteur issue de $B$ sur $\lbrack AC\rbrack$ , et le triangle $BHC$ est rectangle en $H$ .

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est $\lbrack AC\rbrack$ .

Le côté adjacent à l'angle $\widehat{BAC}$ (autre que l'hypoténuse) est $\lbrack AB\rbrack$ .

Le côté opposé à l'angle $\widehat{BCA}$ est $\lbrack AB\rbrack$ .

Dans le triangle $BHC$ rectangle en $H$ , le côté $\lbrack BH\rbrack$ ne touche pas $C$ : il est opposé à l'angle $\widehat{BCH}$ .

Le côté $\lbrack CH\rbrack$ ne touche pas $B$ : il est opposé à l'angle $\widehat{HBC}$ .

Ex 20 p. 525

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $MNP$ rectangle en $M$ , $\widehat{MNP} = 45{^\circ}$ .

La somme des angles d'un triangle vaut $180{^\circ}$ . $\widehat{NMP} = 90{^\circ}$ et $\widehat{MNP} = 45{^\circ}$ , donc $\widehat{MPN} = 180{^\circ} - 90{^\circ} - 45{^\circ} = 45{^\circ}$ .

Le triangle $MNP$ a deux angles égaux ( $\widehat{MNP} = \widehat{MPN} = 45{^\circ}$ ), il est donc isocèle en $M$ : $MN = MP$ .

~ Calculs de cosinus, sinus et tangente ~

Ex 24 p. 525

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $DOR$ rectangle en $O$ .

Hypoténuse $\lbrack DR\rbrack$ , côté opposé à $\widehat{D}$ : $\lbrack OR\rbrack$ . $\sin\widehat{RDO} = \dfrac{OR}{DR}$

Hypoténuse $\lbrack DR\rbrack$ , côté adjacent à $\widehat{D}$ : $\lbrack OD\rbrack$ . $\cos\widehat{RDO} = \dfrac{OD}{DR}$

Côté opposé à $\widehat{R}$ : $\lbrack OD\rbrack$ , côté adjacent à $\widehat{R}$ : $\lbrack OR\rbrack$ . $\tan\widehat{DRO} = \dfrac{OD}{OR}$

Côté opposé à $\widehat{D}$ : $\lbrack OR\rbrack$ , côté adjacent à $\widehat{D}$ : $\lbrack OD\rbrack$ . $\tan\widehat{RDO} = \dfrac{OR}{OD}$

Ex 25 p. 525

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $TOC$ rectangle en $T$ , $TC = 5,2$ cm, $OC = 6,5$ cm.

Triangle $TOC$ rectangle en $T$ , hypoténuse $\lbrack OC\rbrack$ . D'après le théorème de Pythagore : $OC^{2} = OT^{2} + TC^{2}$ , donc $OT^{2} = OC^{2} - TC^{2} = 6,5^{2} - 5,2^{2} = 42,25 - 27,04 = 15,21$ .

$OT = \sqrt{15,21} = 3,9$ cm.

Angle $\widehat{TOC}$ , triangle $TOC$ rectangle en $T$ , hypoténuse $\lbrack OC\rbrack$ .

$\cos\widehat{TOC} = \dfrac{OT}{OC} = \dfrac{3,9}{6,5} = \dfrac{3}{5}$

$\sin\widehat{TOC} = \dfrac{TC}{OC} = \dfrac{5,2}{6,5} = \dfrac{4}{5}$

$\tan\widehat{TOC} = \dfrac{TC}{OT} = \dfrac{5,2}{3,9} = \dfrac{4}{3}$

Ex 27 p. 525

Manuel :

Correction :

Données de la figure : trois triangles $IJK$ rectangles : triangle ① rectangle en $J$ , triangle ② rectangle en $I$ , triangle ③ rectangle en $K$ .

$\sin\widehat{IJK} = \dfrac{IK}{IJ}$ : l'angle considéré est $\widehat{J}$ , donc $\lbrack IJ\rbrack$ doit être l'hypoténuse, ce qui impose l'angle droit en $K$ . C'est le triangle ③.

$\tan\widehat{JIK} = \dfrac{JK}{IJ}$ : l'angle considéré est $\widehat{I}$ , avec $\lbrack JK\rbrack$ opposé et $\lbrack IJ\rbrack$ adjacent (donc pas hypoténuse), ce qui impose l'angle droit en $J$ . C'est le triangle ①.

$\cos\widehat{IJK} = \dfrac{IJ}{JK}$ : l'angle considéré est $\widehat{J}$ , donc $\lbrack JK\rbrack$ doit être l'hypoténuse, ce qui impose l'angle droit en $I$ . C'est le triangle ②.

~ Calculs de longueurs ~

Ex 29 p. 525

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $JLU$ rectangle en $L$ , $\widehat{LJU} = 32{^\circ}$ , $JU = 8,2$ cm.

Triangle $JLU$ rectangle en $L$ , angle $\widehat{J} = 32{^\circ}$ , hypoténuse $\lbrack JU\rbrack$ , côté opposé à $\widehat{J}$ : $\lbrack LU\rbrack$ .

$\sin\widehat{J} = \dfrac{LU}{JU}$ , donc $LU = JU \times \sin(32{^\circ}) = 8,2 \times \sin(32{^\circ}) \approx 8,2 \times 0,5299 \approx 4,3453$ .

$LU \approx 4,3$ cm.

Ex 31 p. 525

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $VEN$ rectangle en $V$ , $VN = 5,8$ cm, $\widehat{VNE} = 29{^\circ}$ .

Angle $\widehat{N} = 29{^\circ}$ , côté adjacent $\lbrack VN\rbrack$ , côté opposé $\lbrack VE\rbrack$ .

$\tan\widehat{N} = \dfrac{VE}{VN}$ , donc $VE = VN \times \tan(29{^\circ}) = 5,8 \times \tan(29{^\circ}) \approx 5,8 \times 0,5543 \approx 3,2150$ .

$VE \approx 3,2$ cm.

Angle $\widehat{N} = 29{^\circ}$ , côté adjacent $\lbrack VN\rbrack$ , hypoténuse $\lbrack EN\rbrack$ .

$\cos\widehat{N} = \dfrac{VN}{EN}$ , donc $EN = \dfrac{VN}{\cos(29{^\circ})} = \dfrac{5,8}{\cos(29{^\circ})} \approx \dfrac{5,8}{0,8746} \approx 6,6316$ .

$EN \approx 6,6$ cm.

Ex 43 p. 526

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $ABC$ rectangle en $A$ , $BC = 3$ m, $\widehat{ABC} = 40{^\circ}$ .

Angle $\widehat{B} = 40{^\circ}$ , côté adjacent $\lbrack AB\rbrack$ , hypoténuse $\lbrack BC\rbrack$ .

$\cos\widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$ , donc $AB = BC \times \cos(40{^\circ}) = 3 \times \cos(40{^\circ}) \approx 3 \times 0,7660 \approx 2,2981$ .

$AB \approx 2,30$ m.

Ex 48 p. 527

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $OBC$ rectangle en $B$ , $OB = 85$ m, $\widehat{COB} = 59{^\circ}$ , hauteur de l'instrument $OA = AB = 1,5$ m.

Angle $\widehat{O} = 59{^\circ}$ , côté adjacent $\lbrack OB\rbrack$ , côté opposé $\lbrack CB\rbrack$ .

$\tan\widehat{O} = \dfrac{CB}{OB}$ , donc $CB = OB \times \tan(59{^\circ}) = 85 \times \tan(59{^\circ}) \approx 85 \times 1,6643 \approx 141,4637$ .

$CB \approx 141,5$ m.

La hauteur de la cathédrale est $CA = CB + BA \approx 141,4637 + 1,5 \approx 142,9637$ .

$CA \approx 143$ m.

~ Calculs d'angles ~

Ex 49 p. 527

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $TRM$ rectangle en $R$ , $RM = 4$ cm, $TM = 5$ cm.

Angle $\widehat{RMT}$ , côté adjacent $\lbrack RM\rbrack$ , hypoténuse $\lbrack TM\rbrack$ .

$\cos\widehat{RMT} = \dfrac{RM}{TM} = \dfrac{4}{5} = 0,8$ , donc $\widehat{RMT} \approx 37{^\circ}$ .

Angle $\widehat{RTM}$ , côté opposé $\lbrack RM\rbrack$ , hypoténuse $\lbrack TM\rbrack$ .

$\sin\widehat{RTM} = \dfrac{RM}{TM} = \dfrac{4}{5} = 0,8$ , donc $\widehat{RTM} \approx 53{^\circ}$ .

Ex 52 p. 527

Manuel :

Correction :

Données de la figure : triangle $MRI$ rectangle en $I$ , $MR = 10$ cm, $MI = 7,2$ cm.

Angle $\widehat{RMI}$ , côté adjacent $\lbrack MI\rbrack$ , hypoténuse $\lbrack MR\rbrack$ .

$\cos\widehat{RMI} = \dfrac{MI}{MR} = \dfrac{7,2}{10} = 0,72$ , donc $\widehat{RMI} \approx 44{^\circ}$ .

C'est Fatou qui a raison : $\widehat{RMI} \approx 44{^\circ}$ , et non $45{^\circ}$ (le triangle $MRI$ n'est pas isocèle rectangle en $I$ ).

Ex 53 p. 527

Manuel :

Correction :

Données de la figure : $AH = 2,80$ m, $HC = 0,80$ m, $CB = 1,5$ m, angle droit en $H$ ; donc $HB = HC + CB = 0,80 + 1,5 = 2,30$ m.

Triangle $AHC$ rectangle en $H$ , angle $\widehat{HAC}$ , côté opposé $\lbrack HC\rbrack$ , côté adjacent $\lbrack AH\rbrack$ .

$\tan\widehat{HAC} = \dfrac{HC}{AH} = \dfrac{0,80}{2,80} \approx 0,2857$ , donc $\widehat{HAC} \approx 16{^\circ}$ .

Triangle $AHB$ rectangle en $H$ , angle $\widehat{HAB}$ , côté opposé $\lbrack HB\rbrack$ , côté adjacent $\lbrack AH\rbrack$ .

$\tan\widehat{HAB} = \dfrac{HB}{AH} = \dfrac{2,30}{2,80} \approx 0,8214$ , donc $\widehat{HAB} \approx 39{^\circ}$ .

$\widehat{CAB} = \widehat{HAB} - \widehat{HAC} \approx 39,40{^\circ} - 15,95{^\circ} \approx 23,46{^\circ}$ , donc $\widehat{CAB} \approx 23{^\circ}$ .

Ex 55 p. 528

Manuel :

Correction :

Données de la figure : $EC = 5,60$ m, $LE = 0,65$ m, $CH = 1,20$ m, angle droit en $H$ .

$CL = CE - LE = 5,60 - 0,65 = 4,95$ m. Triangle $CHL$ rectangle en $H$ , angle $\widehat{C}$ , côté adjacent $\lbrack CH\rbrack$ , hypoténuse $\lbrack CL\rbrack$ .

$\cos\widehat{C} = \dfrac{CH}{CL} = \dfrac{1,20}{4,95} \approx 0,2424$ , donc $\widehat{C} \approx 76{^\circ}$ .

$HL^{2} = CL^{2} - CH^{2} = 4,95^{2} - 1,20^{2} = 24,5025 - 1,44 = 23,0625$ .

$HL = \sqrt{23,0625} \approx 4,8023$ .

$HL \approx 4,8$ m.