Trigonometrie

On donne la figure ci-contre.

BGF est un triangle rectangle en G.

Voici les informations dont on dispose :

AC $= 5$  BC $= 4$

AB $= 3$  BG $= 2$

$\widehat{\text{BCF}} = 74^{\circ}$

La figure n'est pas en vraie grandeur.

Le but de cet exercice est de déterminer si les points A, B et G sont alignés ou non.

1) On se place dans le triangle CBF.

a) Justifier que l'angle $\widehat{\text{CFB}}$ mesure $74^{\circ}$ .

b) Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBF}}$ .

2) Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

3) Dans le triangle rectangle BGF, calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{FBG}}$ .

4) Les points A, B et G sont-ils alignés ? Justifier la réponse. Argumenter la réponse en précisant la démarche.

On dispose d'un terrain en pente sur lequel on souhaite construire une maison. Il faut pour cela enlever de la terre afin d'obtenir un terrain horizontal. On dispose des informations suivantes :

La maison sera construite sur le terrain horizontal représenté par le segment [BC]. Le triangle ABC est rectangle en C et :

AC $= 2,6$ m

AB $= 17$ m

1) Justifier que la longueur CB est égale à 16,8 m.

2) Le coût des travaux pour enlever la terre dépend de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ . Si la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est supérieure à $8,5^{\circ}$ , cela entraînera un surcoût des travaux (c'est-à-dire que les travaux pour enlever la terre coûteront plus cher). Est-ce le cas pour ce terrain?

3) On admet que le volume de terre enlevée correspond au volume du prisme droit CBAFED de hauteur [CF] et de bases triangulaires ACB et DFE, comme représenté ci-dessous. On rappelle que les longueurs CF et AD sont égales.

Déterminer le volume de terre à enlever en m $^{3}$ . On rappelle la formule: Volume d'un prisme droit = aire d'une base du prisme $\times$ hauteur du prisme.

Une entreprise décide de faire poser sur le toit de son hangar des panneaux solaires.

Pendant une semaine d'utilisation, les productions d'électricité journalières en kilowattheures (kWh) de ces panneaux ont été relevées dans le tableau ci-dessous :

1) a) Quel jour la production d'électricité a-t-elle été la plus grande ?

b) Calculer l'étendue de ces productions d'électricité.

c) Quelle est la production moyenne d'électricité par jour sur cette période ?

2) L'entreprise revend 15 % de sa production d'électricité au tarif de 8 centimes le kWh. Combien a-t-elle gagné en euros pendant ces 7 jours ?

3) Afin que les panneaux solaires aient une production maximale, le toit doit avoir une pente avec l'horizontale comprise entre $30^{\circ}$ et $35^{\circ}$ .

Schéma en coupe du hangar. La pente du toit avec l'horizontale correspond à l'angle $\widehat{\text{OLV}}$ .

Sur ce toit, les panneaux solaires ont-ils une production maximale?

Trois élèves construisent chacun en vraie grandeur une même figure puis la découpent.

Ils obtiennent ainsi, à eux trois, trois pièces identiques, comme ci-contre.

Le schéma ci-dessous représente la pièce construite par chaque élève avec les indications suivantes:

- Les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires ;

- Les points A, C et B sont alignés;

- L'arc de cercle qui relie le point A au point B a pour centre le point G;

- AC = CB;

- CG = 10 cm et BG = 20 cm.

1) Démontrer que la longueur BC mesure environ 17,3 cm.

2) Quelle est l'aire du triangle BAG ? On donnera une valeur arrondie à l'unité.

3) a) Montrer que l'angle $\widehat{\text{CGB}}$ mesure exactement $60^{\circ}$ .

b) En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AGB}}$ .

4) Les trois élèves pensent qu'ils peuvent former un disque complet avec leurs 3 pièces. Expliquer pourquoi ils ont raison.

5) En déduire l'aire de la pièce obtenue par chacun des élèves. On donnera une valeur arrondie à l'unité.

Les propriétaires d'une maison souhaitent créer une rampe d'accès à leur terrasse.

Cette rampe devra avoir la forme d'un prisme droit à base triangulaire comme représenté sur le schéma en perspective cavalière ci-dessous:

Les figures ci-dessus ne sont pas à l'échelle.

On donne les informations suivantes :

- la hauteur [AC] de la rampe mesure $30$ cm ;

- AB $= 124$ cm ;

- la longueur BE de la rampe mesure $9$ m ;

- l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ est un angle droit.

1) Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ que doit faire la rampe avec le sol du jardin.

2) On arrondira au degré près.

2) Montrer que la longueur BC doit être environ égale à $120$ cm.

3) Pour réaliser cette rampe, les propriétaires envisagent de se faire livrer $2$ m $^{3}$ de béton.

Ce volume est-il suffisant ?

4) En utilisant le volume de $2$ m$^{3}$ de béton, sans modifier les longueurs AC et BE de la rampe, quelle serait la valeur de BC ?

On arrondira au centimètre près.

On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur 272 cm.

La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier.

La hauteur d'une marche est de 17 cm.

La profondeur d'une marche pour poser le pied mesure 27 cm.

1) a) Montrer qu'il faut prévoir 16 marches pour construire cet escalier.

b) Montrer que la longueur AB est égale à 432 cm.

2) Pour permettre une montée agréable, l'angle $\widehat{BAC}$ doit être compris entre $25^{\circ}$ et $40^{\circ}$ .

a) Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ , arrondie au degré près.

b) L'escalier permet-il une montée agréable ?

3) On rédige le programme ci-contre avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier.

(1 cm dans la réalité est représenté par 1 pas dans le programme.)

Recopier les lignes $5,6,7$ et 9 sur la copie en les complétant. est cliqué 'orienter à tout en position d'écriture fois de degrés de pas de degrés de pas