3ème

Statistiques

FICHE D'EXERCICES

Statistiques

~ Moyenne ~

Ex 25 p. 221

Manuel :

Correction :

a. Calculons la moyenne des dix performances de Mélina Robert-Michon.

$\overline{x} = \dfrac{63,09 + 63,23 + 65,04 + 62,77 + 62,24 + 61,81 + 63,78 + 62,57 + 62,39 + 61,78}{10} = \dfrac{628,70}{10} = 62,87$

La moyenne de ces dix performances est donc de 62,87 m.

b. La performance la plus élevée de la série est 65,04 m et la plus faible est 61,78 m. Supprimons ces deux valeurs extrêmes et calculons la moyenne des huit valeurs restantes :

$\overline{x'} = \dfrac{63,09 + 63,23 + 62,77 + 62,24 + 61,81 + 63,78 + 62,57 + 62,39}{8} = \dfrac{501,88}{8} = 62,735$

La moyenne de ces huit performances est donc de 62,735 m, soit environ 62,74 m.

On a $62,87 - 62,735 = 0,135$ : en supprimant les deux valeurs extrêmes, la moyenne a changé (elle a légèrement diminué). La moyenne d'une série est donc sensible aux valeurs extrêmes : leur suppression modifie le résultat, même si ici l'écart reste faible car les deux valeurs supprimées n'étaient pas très éloignées du reste de la série.

Ex 28 p. 222

Manuel :

Correction :

a. Présentons les 27 résultats dans un tableau d'effectifs :

Nombre de réponses exactes	14	17	19	21	24	26	27	28
Effectif	2	4	4	5	2	3	5	2

On vérifie que $2 + 4 + 4 + 5 + 2 + 3 + 5 + 2 = 27$ , ce qui correspond bien au nombre d'élèves.

b. Calculons la moyenne de cette série :

$\overline{x} = \dfrac{14 \times 2 + 17 \times 4 + 19 \times 4 + 21 \times 5 + 24 \times 2 + 26 \times 3 + 27 \times 5 + 28 \times 2}{27} = \dfrac{594}{27} = 22$

En moyenne, les élèves ont eu 22 bonnes réponses sur 30 questions.

Ex 34 p. 222

Manuel :

Correction :

Calculons d'abord la moyenne des notes d'évaluation (coefficient 1) :

${\overline{x}}_{\text{éval}} = \dfrac{12 + 9 + 13 + 14 + 17 + 16}{6} = \dfrac{81}{6} = 13,5$

Puis la moyenne des notes à l'oral (coefficient 0,5) :

${\overline{x}}_{\text{oral}} = \dfrac{15 + 16 + 11 + 12}{4} = \dfrac{54}{4} = 13,5$

La moyenne pondérée par les coefficients est donc :

$\overline{x} = \dfrac{13,5 \times 1 + 13,5 \times 0,5}{1 + 0,5} = \dfrac{13,5 + 6,75}{1,5} = \dfrac{20,25}{1,5} = 13,5$

La moyenne pondérée de Zoé en anglais ce trimestre est de 13,5. (Les deux moyennes partielles étant égales, la moyenne pondérée est logiquement la même, quel que soit le poids donné à chacune.)

Ex 35 p. 222

Manuel :

Correction :

L'effectif total des élèves est $32 + 112 + 184 + 214 + 116 + 52 = 710$ .

La distance totale parcourue par l'ensemble des élèves est :

$1 \times 32 + 2 \times 112 + 3 \times 184 + 4 \times 214 + 5 \times 116 + 6 \times 52 = 2556$ km

La distance moyenne parcourue par élève est donc :

$\overline{x} = \dfrac{2556}{710} = 3,6$ km

b. Les élèves ont déjà parcouru 2 556 km au total. Pour atteindre l'objectif de 3 000 km, il reste à parcourir :

$3000 - 2556 = 444$ km

Cette distance doit être partagée entre les 74 adultes. Chaque adulte devra donc parcourir en moyenne :

$\dfrac{444}{74} = 6$ km

~ Médiane ~

Ex 9 p. 220

Manuel :

Correction :

Rangeons d'abord la série dans l'ordre croissant : $6 < 7 < 8 < 9 < 12 < 13 < 15$ .

Calcul de la moyenne :

$\overline{x} = \dfrac{15 + 6 + 8 + 12 + 13 + 9 + 7}{7} = \dfrac{70}{7} = 10$

La moyenne de la série est donc 10, et non 12. Mathis a tort.

Calcul de la médiane : la série comporte 7 valeurs ; une fois triée dans l'ordre croissant, la médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la 4e valeur : $6,7,8,9,12,13,15$ . La médiane est donc 9.

Maeva a raison sur le principe (la médiane est bien la valeur qui a autant de nombres avant qu'après), mais elle a oublié de trier la série avant de repérer la valeur centrale : dans la série donnée dans l'ordre initial, 12 est bien en 4e position, mais ce n'est pas la 4e position une fois les valeurs rangées dans l'ordre croissant. Maeva a donc aussi tort : la médiane n'est pas 12, mais 9.

Ex 40 p. 223

Manuel :

Correction :

Rucher de la vallée --- effectif total : $5 + 8 + 3 + 5 + 2 = 23$ ruches (nombre impair). La médiane est donc la $\dfrac{23 + 1}{2} = 12^{e}$ valeur de la série triée.

Effectifs cumulés : 10 kg $\rightarrow$ 5 ; 14 kg $\rightarrow$ 13 ; 15 kg $\rightarrow$ 16 ; 18 kg $\rightarrow$ 21 ; 20 kg $\rightarrow$ 23.

La 12e valeur se situe entre la 6e et la 13e ruche, c'est-à-dire dans la catégorie 14 kg. La masse médiane du rucher de la vallée est donc 14 kg.

Rucher de la colline --- effectif total : $5 + 6 + 3 + 7 + 9 = 30$ ruches (nombre pair). La médiane est la moyenne de la 15e et de la 16e valeur.

Effectifs cumulés : 12 kg $\rightarrow$ 5 ; 13 kg $\rightarrow$ 11 ; 14 kg $\rightarrow$ 14 ; 17 kg $\rightarrow$ 21 ; 18 kg $\rightarrow$ 30.

La 15e et la 16e valeur se situent toutes les deux entre la 15e et la 21e ruche, c'est-à-dire dans la catégorie 17 kg. La masse médiane du rucher de la colline est donc $\dfrac{17 + 17}{2} = 17$ kg.

Ex 41 p. 223

Manuel :

Correction :

Rangeons les six distances connues dans l'ordre croissant : $4,8 < 5 < 6,5 < 7,5 < 10 < 11,7$ .

Avec la distance du dimanche, la série comporte 7 valeurs. La médiane sera donc la 4e valeur de la série triée. Regardons où se place la distance du dimanche, notée $x$ , selon sa valeur :

· Si $x \leq 6,5$ : $x$ s'intercale avant ou parmi les trois plus petites valeurs, et la 4e valeur reste 6,5.

· Si $6,5 < x \leq 7,5$ : $x$ devient lui-même la 4e valeur, donc la médiane vaut $x$ .

· Si $x > 7,5$ : $x$ s'intercale après, et la 4e valeur reste 7,5.

Médiane = 7,5 : c'est possible pour toute distance $x \geq 7,5$ km (il y a une infinité de solutions).

Médiane = 7 : c'est possible uniquement si $x = 7$ exactement (cas $6,5 < x \leq 7,5$ , où la médiane vaut $x$ ).

Médiane = 6,5 : c'est possible pour toute distance $x$ telle que $0 \leq x \leq 6,5$ km (infinité de solutions).

Médiane = 5 : c'est impossible. En effet, d'après l'étude ci-dessus, la 4e valeur de la série triée ne peut jamais être inférieure à 6,5 km, quelle que soit la valeur de $x$ (même très petite, voire nulle) : la médiane ne peut donc jamais valoir 5.

Ex 42 p. 223

Manuel :

Correction :

Série $S_{1}$ de sept nombres tous différents, de médiane 5 : $1;2;3;4;5;8;9$ . Une fois triée, la 4e valeur (valeur centrale sur 7 nombres) est bien 5.

Série $S_{2}$ de six nombres, dont un au moins vaut 5, de médiane 5 : $1;3;5;5;7;9$ . Une fois triée, la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : $\dfrac{5 + 5}{2} = 5$ .

Série $S_{3}$ de huit nombres, tous différents de 5, de médiane 5 : $1;2;3;4;6;7;8;9$ . Une fois triée, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs : $\dfrac{4 + 6}{2} = 5$ , alors qu'aucune valeur de la série n'est égale à 5.

~ Étendue ~

Ex 49 p. 224

Manuel :

Correction :

a. Sur le diagramme, la plus petite taille ayant un effectif non nul est 44 cm, et la plus grande est 53 cm. L'étendue de la série est donc :

$53 - 44 = 9$ cm

b. Écartons d'abord la valeur 44 cm, hors de l'intervalle des bébés non prématurés (46 cm à 54 cm).

Présentons les tailles restantes dans un tableau d'effectifs :

Taille (cm)	47	48	49	50	51	52	53
Effectif	6	8	9	5	8	6	4

L'effectif total est $6 + 8 + 9 + 5 + 8 + 6 + 4 = 46$ bébés.

Calculons la taille moyenne à la naissance :

$\overline{x} = \dfrac{47 \times 6 + 48 \times 8 + 49 \times 9 + 50 \times 5 + 51 \times 8 + 52 \times 6 + 53 \times 4}{46} = \dfrac{2289}{46} \approx 49,76$

La taille moyenne obtenue est d'environ 49,76 cm, ce qui est cohérent avec la moyenne d'environ 50 cm annoncée par les spécialistes. En revanche, comme on l'a vu à la question a., un bébé de cette maternité est né avec une taille de 44 cm, en dehors de l'intervalle [46 cm ; 54 cm] attendu pour un bébé non prématuré : ce n'est donc pas totalement le cas ici, à cause de cette valeur extrême.

Ex 51 p. 224

Manuel :

Correction :

a. La feuille de calcul se réalise en saisissant les années en ligne 1 (de A1 à J1) et les montants correspondants en ligne 2 (de A2 à J2).

b. En cellule K2, on saisit la formule `=MAX(A2:J2)-MIN(A2:J2)`, qui calcule l'étendue de la série, c'est-à-dire la différence entre le montant le plus élevé et le montant le plus faible :

$9,61 - 8,27 = 1,34$

Le montant horaire brut du SMIC a donc augmenté de 1,34 € entre 2006 et 2015.

c. Pour déterminer la médiane en cellule L2, on peut saisir la formule `=MEDIANE(A2:J2)`.

Les dix valeurs étant déjà rangées dans l'ordre croissant (le SMIC n'a fait qu'augmenter), la médiane est la moyenne des 5e et 6e valeurs :

$\dfrac{8,86 + 9}{2} = 8,93$

~ Utiliser diverses représentations ~

Ex 58 p. 226

Manuel :

Correction :

D'après le diagramme, le nombre de prospectus reçus chaque mois est :

Mois	J	F	M	A	M	J	J	A	S	O	N	D
Prospectus	68	60	80	67	40	88	60	80	68	88	119	125

L'effectif total sur l'année est :

$68 + 60 + 80 + 67 + 40 + 88 + 60 + 80 + 68 + 88 + 119 + 125 = 943$

Le nombre moyen de prospectus reçus par mois est donc :

$\overline{x} = \dfrac{943}{12} \approx 78,58$

Marianne a reçu en moyenne environ 79 prospectus par mois cette année-là.

Ex 61 p. 226

Manuel :

Correction :

Présentons les données dans un tableau d'effectifs :

Nombre de téléchargements	0	1	2	3	4	5	6
Effectif	2	2	3	4	5	4	5

L'effectif total est $2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 5 = 25$ personnes.

Calcul de la moyenne :

$\overline{x} = \dfrac{0 \times 2 + 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 4 + 6 \times 5}{25} = \dfrac{90}{25} = 3,6$

Calcul de la médiane : il y a 25 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la $\dfrac{25 + 1}{2} = 13^{e}$ valeur de la série triée. Calculons les effectifs cumulés :

$0 \rightarrow 2;1 \rightarrow 4;2 \rightarrow 7;3 \rightarrow 11;4 \rightarrow 16;5 \rightarrow 20;6 \rightarrow 25$

La 13e valeur se situe entre la 12e et la 16e personne, c'est-à-dire dans la catégorie 4. La médiane de la série est donc 4.

Conclusion : on a $3,6 < 4$ , c'est-à-dire que le nombre moyen de téléchargements (3,6) est bien inférieur au nombre médian (4). C'est donc Issa qui a raison, et Fatou a tort.

Ex 69 p. 226

Manuel :

Correction :

La médiane $M = 3$ signifie qu'au moins la moitié des 30 000 ordinateurs testés ont eu une durée de vie de 3 ans ou moins, et qu'au moins la moitié ont eu une durée de vie de 3 ans ou plus.

Or, la publicité annonce que les ordinateurs sont « jamais en panne avant 5 ans ». Si la moitié des ordinateurs ont une durée de vie inférieure ou égale à 3 ans, cela veut dire qu'au moins la moitié des ordinateurs testés sont tombés en panne (ou ont cessé de fonctionner) avant même d'atteindre 5 ans.

Cette publicité est donc trompeuse : la médiane ne permet absolument pas d'affirmer qu'aucun ordinateur ne tombe en panne avant 5 ans ; elle indique au contraire qu'une bonne partie d'entre eux n'atteignent pas cette durée.

Ex 71 p. 228

Manuel :

Correction :

a. Présentons les données de l'histogramme dans un tableau d'effectifs :

Temps de parcours (min)	$[10;15[$	$[15;20[$	$[20;25[$	$[25;30[$
Effectif	5	10	15	10

L'effectif total est $5 + 10 + 15 + 10 = 40$ trajets.

b. En prenant pour valeur de chaque classe son centre (12,5 ; 17,5 ; 22,5 ; 27,5), le temps de trajet moyen est :

$\overline{x} = \dfrac{12,5 \times 5 + 17,5 \times 10 + 22,5 \times 15 + 27,5 \times 10}{40} = \dfrac{62,5 + 175 + 337,5 + 275}{40} = \dfrac{850}{40} = 21,25$

Le temps de trajet moyen est donc estimé à 21,25 minutes.

Convertissons la partie décimale en secondes : $0,25\min = 0,25 \times 60 = 15$ secondes.

Le temps de trajet moyen est donc estimé à 21 min 15 s.